Answer ALL questions. Section A carries 40% of the total marks and Section B carries 60%.  The relative weights attached to each question are as follows: A1(10), A2(11), A3(9), A4(10),  B1(31),  B2(29).   The numbers in square brackets indicate the relative weight attached to each part question.

You may use without proof the following results:

❼ A random variable X follows the Poisson distribution with parameter

µ > 0, denoted X ~ Poi(µ), if and only if it has pmf

P (X = k) = eo. ,        k e {0, 1, 2, 3, . . .}.

In this case E[X] = µ, Var(X) = µ and Gx (z) = exp (µ(z _ 1)).

❼ A random variable X follows the Geometric distribution with parame-

ter p e (0, 1), denoted X ~ Geo(p), if and only if it has pmf

P (X = k) = (1 _ p)k o1p,        k e N.

1                          1 _ p

p                            p2     .

❼ A random variable X follows the Binomial distribution with parameters

n e N and p e (0, 1), denoted X ~ Bin(n, p), if and only if it has pmf

P (X = k) = ╱  、k(n) pk (1 _ p)nok ,    k e {0, 1, 2, . . . , n}.

In this case E[X] = np and Var(X) = np(1 _ p).

❼ A random variable X follows the Gamma distribution with parameters

α > 0 and λ > 0 if it has pdf

,

fx (x) = ．

if x > 0

otherwise  .

In this case E[X]  =  , Var(X)  =    and Mx (s)  =  ╱ 1 _ 、o9   for

s  <  λ.   The Gamma function is given by Γ(s)  =   0l xso1 eoz dx;  if s e N then we have Γ(s) = (s _ 1)!.  Finally, if X ~ Gam(α, λ) and Y ~ Gam(β, λ) are two independent random variables (with α, β, λ > 0) then X + Y ~ Gam(α + β, λ) follows. 

Section A

A1 Let X follow the distribution given by the following pmf:

k      0       1       2       3

P (X = k)   1/4    1/4    1/4    1/4

(a)  Compute the cdf and sketch it bearing in mind that it is defined on the whole real axis.                                                                [6]

(b)  Consider the transformed random variable Y = |X _ 2|. Compute its pmf, name the distribution and provide any parameter value(s) required as well as the expected value and variance.                 [4]

A2 Let X ~ Geo(p) with p e (0, 1). Conditionally on X , Y takes the value

X with probability 1/2 and the value 3X with probability 1/2.

(a)  Compute EY ax [Y |X].

(b)  Compute E[Y].

(c)  Compute VarY ax(Y |X).

(d)  Show that Var(Y) = 6po2 _ 5po1 .

[2]

[3]

[2]

[4]

µk         

k!(e. _ 1)

e.z  _ 1

(a)  Show that Gx (z) =

(b) Hence or otherwise compute E[X].

[5]

[4]

A4 Let X1  and X2  denote two tosses of a potentially unfair coin, such that

P (X1  = 1) = P (X2  = 1) = p and P (X1  = 0) = P (X2  = 0) = 1 _ p for some p e (0, 1). In this question, all coin tosses are independent.

(a) Let W = (X1 _ X2 )2 . Compute the pmf of W .

(b)  Compute P (X1  = 1|W = 1) and P (X1  = 0|W = 1).

[3]

[4]

(c) Let Y denote the number of replications of the above two-toss experiment until W = 1 happens. Note that Y takes values in N. What is its distribution including any parameter value(s) needed?

[3]

Section B

B1 For n e N, let X1 , X2 , . . . , Xn  be i.i.d. random variables each with pdf

f(x) = eoz如 /θ      for x e (0, o),

where θ e (0, o) is an unknown parameter.

(a)  Show that  =       Xi(2)  is the MLE of θ.                                [7] (b)  Show that the sampling distribution of  is Gam(n, nθ o1 ). 血〕]n） Compute the distribution of X1(2)  first.  You may also use the ad- ditive property of Gamma-distributed random variables given in

the preamble.

(c) Hence or otherwise compute the bias and variance of

[6]

[2]

(d)  Compute the CRLB for θ.  Does  achieve the same mse as an unbiased estimator attaining the CRLB? Justify.                      [5]

(e)  Obtain an approximate 95% confidence interval for θ based on

asymptotic normality of                                                           [3]

(f) Remembering that an interval [a(, n), b(, n)] is a 95% confidence interval  if and  only  if P ([a(, n), b(, n)]  3  θ)  >  0.95,  decide whether the interval computed in (e) actually is a 95% confidence interval in the case n = 2.  Discuss your findings commenting on the statistical implications of using the approximate confidence in- terval in (e) assessing their severity. 血〕]n）     Using the sampling distribution of  established in (b), you will need to calculate the

probability P ╱  < 、.  You may require integration

by parts and a pocket calculator.                                               [8]