1    Section A - Theoretical Part

Let (Ω , c, P) be a probability space. We denote by E[X] the expectation of a random variable X . For 1 < p < o, La  is used to denote the usual space of p-integrable real-valued random variables.

Fix an integer d > 1.  For an Rd-valued random variable X , its law on c(Rd ) (the Borel sigma- algebra of Rd ) is denoted by p(X).  Scalar product is denoted by（. , .）, with | . | standing for the corresponding norm (where the dimension of the space may vary depending on the context).

For any integer q > 1, let |(Rg ) denote the set of probability measures on c(Rg ).

For µ, ν  V |(Rd ), let r(µ, ν) denote the set of probability measures ζ on c(R2d ) such that its respective marginals are µ, ν .  For two probability measures µ and ν , the Wasserstein distance of order p > 1 is defined as

Wa(µ, ν) := (oe(i)u(f),v) ╱ Ra

Ra  |θ _ θ/|a ζ(dθdθ/)、1/a , µ, ν V |(Rd ).

(1)

Consider a stochastic differential equation (SDE), which is given by,

dXt = _h(Xt)dt +尸2β -1 dBt ,        B t > 0,

(2)

with a deterministic initial condition X0  V Rd, where β is a positive constant, h : Rd  → Rd  and (Bt)t>0  is a d-dimensional Brownian motion. Moreover, assume that:

Assumption 1  There exists a positive constant L such that, for all θ, θ/  V Rd ,

|h(θ) _ h(θ/)| < L|θ _ θ/| .                                                      (3)

Assumption 2  There exists a constant m > 0 such that, for all θ, θ/  V Rd ,

_ ′θ _ θ/, h(θ) _ h(θ/)\ < _m|θ _ θ/|2 .

Suppose also that there exists a unique θ*  V Rd  such that h(θ* ) = 0 .

Question 1  Let T > 0 and d = 1.  Prove that

sup E[|Xt|2] < o.

t<Y

Recall that you need to justify why the  expectation  of a stochastic  integral is zero,  every time  you use  this  property  (for  stochastic  integrals)  since  it  is  not  always  true.   Moreover,  if you  decide to  use  Gronwall’s  lemma,  you  would  need  to justify first  why  the  RHS  (of the  inequality  under consideration) is finite prior to  applying  Gronwall’s lemma.

Question 2  Let d = 1.  Prove that

sup E[|Xt|2] < o.

t>0

Question 3  Let d = 1.  Consider also the SDE which is given by

dZt = _h(Zt)dt +尸2β -1 dBt                                                                        (4)

with a deterministic initial condition Z0  V Rd , which is different that X0.  Prove that

t→o

where µt = Law(Xt) and νt = Law(Zt) .

Question 4  Let d > 1.  Consider the Euler-Maruyama scheme for the SDE  (2), which is given by

Y(n+1)A = YnA _ λh(YnA) + ′ ξn+1 ,        B n > 0,                                  (5)

with initial condition Y0  V Rd , which is the same as the initial value for SDE (2), i.e.  Y0 = X0 , λ > 0 and [ξn}n>1  is  a sequence  of independent and identically  distributed  (i.i.d.)  standard  Gaussian random variables in Rd .  Prove that

sup E[|YnA|2] < o,

n>0

(6)

by first proving that

sup E[|YnA _ θ* |2] < o,

n>0

provided that λ is less or equal than some constant c.  Write down c in terms of L and m .

Remark 1.1  Note that the above representation of the Euler-Maruyama scheme  (5) is due to the

following iterative scheme

Y(n+1)A = YnA _ h(YnA) ((n + 1)λ _ nλ) + ′  cB(n+1)A _ BnA、,

where the Brownian increment B(n+1)A _ BnA  is replaced by ,λξn+1 .

(7)

Question 5  Let d = 1 .   Consider now the  continuous-time  interpolation  of the Euler-Maruyama

scheme  (5),

dYtA = _h(YK ′(A)(t))dt + ′ dBt ,                                                  (8)

for any t > 0 with the same initial value as before, i.e.  Y0A = X0.  Moreover, κA (t) = λ|t/λ{, where |x{ returns the integer part of the real number x.  Hence,  the solutions  of  (8) and  (7) coincide  at grid points, i.e.  when t V [λ, 2λ, 3λ, . . .} since the integral form of  (8) yields

Y(n(A)+1)A = Y h(YK ′(A)(u))du + ′  cB(n+1)A _ BnA、.

Prove that, for any t > 0,

A(l) W2(µt, νt(A)) = 0

where µt  = Law(Xt) and νt(A)  = Law(YtA ) .   Hint:   Consider the  squared  difference  |Xt  _ YtA |2   and apply Itˆo’s formula.

2    Section B - Programming & Simulation Part

Task 1  Implement the VaR-CVaR algorithm from Section 5.2.  of the article

https: // arxiv. org/pdf/ 2007. 01672. pdf