Analytical exercise:  Working as a team, complete the following problems.  See below for additional in- structions.

Problem 1:  Complete textbook problem 9.12,  on p.   453.   To complete this problem,  use the pivot Q(9, Y) = ,n( · 9)/,9. Is the resulting subset estimator always an interval? Explain.

Problem 2:  Suppose Y  =  (x1 , . . . , xn ) is an IID random sample such that each xi   ~ G(9, 1), where 9 is the parameter to be estimated.  We know from class that the maximum likelihood estimator of 9 is 9ˆ(Y) = , and that this estimator is asymptotically efficient. Consider the alternative estimator

T (Y)   =    

for a constant a such that · 1 < a < 1.

Part A: Show that T (Y) is an asymptotically consistent estimator of 9 .

Part B: Show that T (Y) is super-efficient in the sense that for no 9 does its asymptotic variance exceed that of , but for some 9 its asymptotic variance is strictly smaller than that of  .

Problem 3: Suppose (Y , - ) = ((x1 , y1 ), . . . , (xn , yn )) is an IID random sample of bivariate measurements such that each  (xi , yi ) is bivariate Gaussian with parameter X  =  (uX , uY , gX(2), gY(2), o), for which uX   = E台 [xi], uY  = E台 [yi], gX(2)   = Vao台 [xi], gY(2)  = Vao台 [yi], and o2  = CОoo台 [xi , yi].  Implied from this setup is that the statistic ( , ) is bivariate Gaussian with E台 [] = uX , E台 [] = uY , Vao台 [] = gX(2)/n, Vao台 [] = gY(2)/n, and CОoo台 [] = o.  Subsequently, the formulas derived in Example 5.5.27 on p.  244-245 in the textbook provide that the statistic T (Y , - ) = / has asymptotic mean E台 [T (Y , - )] ≈ uX /uY   = g(X) and asymptotic variance

Vao台 [,nT (Y , - )] ≈ │ ∶2  │  +  · 2o∶ = r(X).

Moreover, the central limit theorem together with the delta method imply that the parameter-dependent statistic Q(X; Y , - ) =,nfT (Y , - ) · g(X)}/′r(X) is asymptotically standard Gaussian. Substituting

rˆ(X; Y , - ) = │ ∶2  │  +  · 2o∶

for r(X), where sX(2)  and sY(2)  are the respective sample variances of the Y and - samples, and o is the associated sample correlation, the statistic

Qˆ (X; Y , - ) = ,n

is also asymptotically standard Gaussian.   Use these observations to derive a formula for approximate confidence confidence interval for the ratio uX /uY . Besides its status as an approximate confidence interval (i.e., its confidence level may only be stated approximately,) how does this solution to estimating the ratio of Gaussian means substantially differ from E. C. Fieller’s solution to the same problem, which is highlighted in the Example and Illustrations document for part A of the current learning unit.

Concepts:  Implement a jigsaw using the following concepts assigned to team members.  In a jigsaw, the student first meets with those of other teams who are assigned the same concept, in order to clarify their understanding of the concept, and help others do the same. They then meet with the members of their own team, and teach the concept to them.

When discussing these concepts with your classmates, focus on answering the following three questions:

1. What is your understanding of the concept?

2. Why is this concept important?

3.  How is this concept used?

Once having completed the jigsaw, reflect on the following questions:

1. What was affirmed, deepened, or clarified when speaking to those in other teams who were assigned the same concept?

2. When speaking to other members of your team, with what facets of the concept did the others strug- gle?

Finally, each team member is to answer the question below that is relevant to their assigned concept, as indicated.  The answer is to be evaluated in terms of its correctness, thoroughness (the extent to which it provides a self-contained picture of the concept), thoughtfulness (the extent to which goes beyond skimming the surface), and conciseness (between four and ten sentences).  As much as possible, avoid the use of mathematical notation or intensely technical language.

A.  In what ways does working with location-scale families highlight the flexibility of the pivoting technique of estimator construction?

B. Among techniques for constructing subset estimators, how is it that the test-inversion technique gives rise to the pivoting and CDF inversion techniques?

C.  Under a particular model (e.g., binary sampling) and inferential objective (e.g., point or subset es- timation), how might the the variations of Wald and score statistics be distinct in terms of the their properties, suitability for the context, or uses for devising statistical techniques? Avoid mathematical notation when answering this question.

Comments and additional instructions: The team is to work together to complete all aspects of the lab. It is the team’s decision, and an important task of the assignment, to determine how efforts are to be allocated among its members. All team members associated with the same solution will receive the same grade on the analytical section of the assignment.

For the concepts section, each team member is individually responsible for completing the in-class jigsaw exercise with their assigned concept. Once the jigsaw is complete, the student is to prepare their answer to the assigned question individually or seek assistance from other team members.

I strongly encourage the entire team work together to complete and turn in a single set of solutions. How- ever, I will accept up to two sets of solutions per team. If more than one solution is submitted for grading by members of the same team, each set of solutions is to be submitted by a distinct subset of team members. The solution must be complete (i.e., it must cover all aspects of the computational and analytical sections of the laboratory exercise), and must clearly indicate those team members whose grade is to be based on it.