Let {Bt . t > 0} denote a standard one-dimensional Brownian motion.

1. Determine E[Xt] and Var(Xt ), where                                                        [10 marks]

4t

Xt  =        |Bu | dBu r

t

2. Determine

E ┌ /  尸 T    尸 t Bs(1) dBs dBt、1 ┐ r

(Hint: E[Bs(3)] = 3s1 )                                                                                    [10 marks] 3.  Suppose X尸 , μ, and u are positive constants, and

dXt  = μXt  dt + u dBt r

Determine E[Xt] and E[Xt(1)].                                                                      [10 marks]

t

Xt  = e −t         Bs dBs

尸

is an Itô’s process and determine its quadratic variation process.            [10 marks]

5. Let g = inf{t > 0 | Bt(1) + t = 4}. Determine E[Bτ(1)].                                    [5 marks]

6. Let g = inf{t > 0 | Bt  - t  (-1. 1)}.  Determine E[g].  (Hint: both eaBt − a2 t  and Bt  are martingales.)                                                                                   [10 marks]

7. Determine if the following utility functions are risk aversion or not.

(a) u(z) = log(3r25(2 - e −1x)3.2上 ), z > 0.                                                  [5 marks]

(b) u(z) = inf (Ize −y + y2 - 2y), z > 0.                                                   [5 marks]

8. An investor faces two investment alternatives for the coming year.  Her first alter- native is to buy Treasury bonds, which will give her a wealth of 10M (M for one million of dollars) for sure at the end of next year. The second alternative has three possible outcomes:  20M , 10M and 5M with corresponding probabilities of 20%, 40%, 40%.  She decides to use the utility function (b) in the previous question to evaluate these alternatives (where z is in one million of dollars). Which is preferred? Give your reason.                                                                                       [10 marks]

9. Let

3t                                             十t

Xt  =        Bs dBs .    yt  =        eB5  dBs r

尸                                           1t

Find E[Xt yt].  (Hint: use the moment generating function of normal distribution) [10 marks]

10.  Suppose

dXt  = Xt (1 - Xt ) dBt .    X尸  = 1(〇);

dyt  = yt (1 - yt ) dBt .    y尸  = 2(〇);

Vt  = exp /   尸 t cs(1)  ds -   尸 t cs dBs 、.

where ct  = 1 - Xt - yt , for all t > 0.