2. Give the derivative f′ (x) of each function. For this question, no justification required.

a)   f (x) = arcsin(x)

d 1

dx             ,1 ± x2

x

b)   f (x) =

d (1)(3x + 1) ± (x)(3)

dx                     (3x + 1)2

c)   f (x) = ex2

solution: f (x) = ex2   = ex2 2x

3. Using logarithmic differentiation, determine the derivative of g(x) = (x2 + 1)cos(x). Your final answer should be completely in terms of x.

solution:

ln(g) = ln ╱(x2 + 1)cos(x)、= cos(x) ln(x2 + 1)

= ± sin(x) ln(x2 + 1) + cos(x) (2x)

g ′ = g(x) ;± sin(x) ln(x2 + 1) + cos(x) (2x)、 = (x2 + 1)cos(x)  ;± sin(x) ln(x2 + 1) + cos(x) (2x)、

[4] 4. Consider the curve described by x5 + xy4 + y2  = 1.

dy

solution:

╱x5 + xy4 + y2、= (1)

5x4 + 1y4 + x4y y  + 2yy3′ ′ = 0

╱ 5x4 + y4、+╱4xy3 + 2y、y′ = 0

dx = y  = 4xy3 + 2y

b)   Find every point on the curve that has x = 0, and the slope of the curve at each such point.

solution:   Setting x = 0 in the equation of the curve we get (0)5 + (0)y4 + y2  = 1, which gives y2  = 1 so y = ·1. We have two points: (0, 1) and (0, ± 1).

±5(0)4 ± (1)4 1

4(0)(1)3 + 2(1)     2

±5(0)4 ± ( ± 1)4 1

4(0)( ± 1)3 + 2( ± 1)        2

[3] 5. A ladder of length 10 metres leans against the wall, making an angle θ with the ground. The

ladder slides down the wall, and when θ = π/3 then θ is decreasing at a rate of 0.01 radians/sec. At this moment, how fast is the base of the ladder moving away from the wall?

solution:   (picture omitted:)

Let x be the horizontal distance from wall to ladder, and θ the angle between the ground and

dx dt dθ

[3] 6. For each f (x), give an anti-derivative F (x). Find an anti-derivative that is valid on the whole

domain of the function. You do not need to include the constant of integration, +C. For this question, no justification required.

a)   f (x) = x5 +,x

solution:        +

b)   f (x) = sec2 (x)

solution:   tan(x)

c)   f (x) =

solution:   2 ln lx + 1l

[2] 7. You are given that g′ (t) = t2 + sin(t) and that g(0) = 0. Find the function g(t).

solution:  We want an antiderivative of g′ . So we get g(t) = t3 /3 ± cos(t)+C for some constant C. setting 0 = g(0) = 03 /3 ± cos(0)+C = ± 1+C we see that C = 1. So g(t) = t3 /3 ± cos(t)+1.

d x2 cos(t)

dx   6      ln(t + 2)

solution:                               dt =                 (2x).

[6] 9. Calculate each definite integral. Show your steps!

3

a)         et cos(et ) dt 2

solution:   Substitute w = et , dw = et dt.

2 3 et cos(et ) dt = cos(w) dw = ╱sin(w)← │e(e)2(3)   = sin(e3 ) ± sin(e2 )

b)

e′x dx

1

solution:   Substitute z = ,x, and  dz = dx/(2,x).  This means that  dx = 2,x dz = 2z dz

4                              2

Now we can do this by parts with u = z, dv = ez dz. This gives du = dz and v = ez .

2  1 2 ez z dz = 2 ╱ ╱zez ← │ ez dz\ = 2 ╱ ╱zez ← │1(2) ± ╱ez ← │1(2)\

= 2 ╱(2e2 ± e) ± (e2 ± e)、 = 2e2

solution:

1 a bx + c

x(x2 + 1)     x     x2 + 1

1 = a(x2 + 1) + (bx + c)x

Setting x = 0 gives a = 1. Setting x = 1 gives 1 = 2a + b +c = 2 + b +c. Setting x = ± 1 gives 1 = 2a + b ± c = 2 + b ± c. Solving this gives c = 0 and b = ± 1. Now we can integrate.

1 dx =

1 dx +

±x

dx

The second integral can be done with u = x2 + 1 and du = 2x dx

dx = ln lxl + ±

du

= ln lxl + ± ln lul

= ln lxl + ± ln │x2 + 1 │ + C

11. Using the method of trig substitution (and not some other method), calculate Be sure and give your final answer in terms of the original variable.

,1 ± x2 dx.

solution:   We set x = sin θ, and so dx = cos θ dθ .

,1 ± x2 dx = 尸1 ± sin2 (x) cos θ dθ =     cos2 θ dθ

Apply an identity, integrate, and apply another identity.

cos2 θ dθ = ╱ 1 + cos(2θ)← dθ = ╱θ + sin(2θ)← + C = ╱θ + 2 sin θ cos θ←

In order to transform back we’d draw a triangle that tells us that when sin θ  =  x, then cos θ = ,1 ± x2 . So we get the final answer.

;arcsin(x) + 2x,1 ± x2 、+ C

1

[4] 12. We wish to evaluate       ex2  dx numerically.  In case it is useful, you are given the following

0

derivatives for f (x) = ex2 .

f (x) = 2xe′ x2                                                                                f′′′ (x) = ╱8x3 + 12x、ex2

f′′ (x) = ╱4x2 + 2、ex2                                                      f′′′′ (x) = ╱ 16x4 + 48x2 + 12、ex2

a)   Give the expression for the Riemann sum using the right hand rule with n = 4. You do not need to evaluate it, just give the sum.

solution:    ;e(0.5)2  + e(1)2  + e(1.5)2  + e(2)2 、(0.5)

b)   Give the expression for the approximation using Simpson’s method with n = 4. You do not need to evaluate it, just give the sum.

solution: ;e(0)2  + 4e(0.5)2  + 2e(1)2  + 4e(1.5)2  + e(2)2 、(0.5)

c)   Determine the value of n required so that the trapezoid method is accurate to within 0.001.

solution:   We want lf′′ (x)l < K. Note that f′′ (x) is positive. Also it is increasing (since f′′′ (x) > 0). So the maximum of lf′′ (x)l occurs at the right-hand endpoint, namely x = 1. So we set K = lf′′ (1)l = 6e.

Now we want < 0.001. This gives n 2 ! .

[4] 13. Find the absolute maximum and absolute minimum value and the location(s) where they

ln(x)

2

dg (1/x)x2 ± ln(x)2x 1 ± 2 ln(x)

dx                  x4                                      x3           .

We find that f′ (x) is positive on [1/e, e) and negative on (e, e2]. This means there is an absolute maximum at x = e, giving f(e) = ln(x)/x2  = 1/e2 .

The minimum is at one of the endpoints (since there are no local minima inside the interval.

f(1/e) = = = ±e2

f(e2 ) = = =

The former is negative and the latter positive,  so the minimum is  ±e2 , which occures at x = 1/e.

[4] 14. Find each of the following limits. You may use any method we have covered in this course.

et + 1

t→& t2 + t

solution:

lim et + 1 lim et lim et

This limit now tends to o.

b)   lim(x + 1)1/x x→0

solution:

exp ;ln ╱x(l)(x + 1)1/x←、= exp ╱x(l) ln ╱(x + 1)1/x、←

= exp ╱x(l) ln (x + 1)\

= exp ╱x(l) \

╱ \

= exp ╱1、

= e

[5] 15. Consider the following function and its derivatives.

x3 x2 (x2 ± 3) 2x(x2 + 3)

x2 ± 1                                  (x2 ± 1)2                                                       (x2 ± 1)3

a)   Identify all horizontal and vertical asymptotes.

solution:   Check limits:

lim             = o

lim             = o

lim              = o

solution:   Critical points are at 0, ·1, ·,3.

±,3 ± 1 0 1 ,3

+      0 ± ! ± 0 ± ! ± 0      +

x              y              y              y              y              x

There is a local maximum at x = ±,3 and a local minimum at x = ,3.

c)   Determine where the function is concave up and where the function is concave down. Identify all inflection points.

solution:   Critical points are at 0, ·1.

± 1              0                1

±

n

!

+      0 ± !       +

u               n               u

There is an inflection point at x = 0.

d)   Sketch the curve, indicating the special points found above.

solution:

[+3] 16. (bonus)  You are given a square piece of cardboard, 1 metre on a side. You are to cut out a

square of side length x from each corner (where x is to be determined), and then fold up the sides in order to make a box with an open top. Find the largest volume your box could have.

1m

cut out

corners

fold on

dotted lines

solution:   Box has a base of 1 ± 2x by 1 ± 2x; the height is x. The domain of is x e (0, 1/2).