Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

ECON5022 RESIT 2020

1.  Consider the following ARIMA(0,1,1) process

Xt = εt - 0.5εt.1 ,

and {εt} is a white noise with mean zero and variance 1.

1.1.  Derive the Beveridge-Nelson decomposition. You should find that

t

Xt = 0.5      εs + 0.5εt + (X0 - 0.5ε0 ) .

s=1

Show your calculations.

[20%]

1.2.  Compute the h-steps-ahead forecast for Xt .

[10%]

1.3.  Compute the forecast mean squared error for h = 10.

[20%]

2.  The so-called Threshold GARCH (TGARCH) model is given by    , t.(2)1 + γXt.(2)1 1(X  4 <0} + βσt(2).1

where  1(o}  is an indicator function and  {Zt} is and independent and identically dis- tributed sequence of standard normal random variables.  In the following, the optimal forecast is the one with the smallest mean squared error. The information set at time t is given by

t = {XT, XT .1 , XT .2 , . . . , σT , σT .1 , σT .2 , . . . }

2.1.  Show that the two-step ahead forecast for σt(2), computed at t, is given by σt(2)+2|t     =   ω + (α + γ/2 + β)σt(2)+1

 


Hint:  If Z ~ N (0, 1), then

o                                      o

匝(Z2) =         z2 f (z)dz = 2        z2 f (z)dz = 1

.o                                  0

where f (z) denotes the standard normal probability density function.

[17%]

2.2.  Show that the h-step-ahead forecasts is

h.2

σt(2)+h|t = ω      (α + γ/2 + β)j + (α + γ/2 + β)h.1 σt(2)+1                            (1)

j=0

[17%]

2.3. Explain what is meant by “leverage effect”. Compute the News Impact Curve, and

briefly discuss whether and how the above model accounts for the leverage effect.  [16%]



3. If the financial market is efficient, the spot and future prices should never drift too far apart, suggesting that a cointegrating relationship might be appropriate.  Using 1055 daily observations, Tse (1995) examines the lead-lag relationship between the spot index (st) and the future prices (ft) of the Nikkei Stock Average.  Descriptive statistics, unit root and cointegration test are reported in Tables I, II and III.

The Error Correction Model 1 (ECM1) and ECM2 are defined with respect the cointe- gration errors (2) and (3) below

 


zˆt     =   log st - βˆ1 - βˆ2 log ft

zt     =   log st - log ft + (r - d)Tt

(2)

(3)


where r is the short term risk free rate, d is the dividend yield and Tt  is the time to

maturity of ft .

Please read carefully the notes to the tables. χ24(2) = 36.415 in the note to Table I denotes the critical value at 5% significance level.

 

 

 


 

 

Finally, 56 out of sample one-step-ahead forecasts have been computed. The naive mar- tingale difference forecast (“Martingale”), using the sample mean of the historical re- turns, is compared against the forecasts calculated using the two ECMs (“ECM1” and “ECM2”) and the univariate ARIMA(2,1,0) model (“ARMA”). The comparison results are reported in Table IV.

 

 

3.1. Are the series log st  and log ft  stationary?  Justify your answer.  Explain why two different unit root tests have been reported in Table I (Panel B and C) for st, but only one for ft .

[12.5%]

3.2. Are the series log st  and log ft  cointegrated? Justify your answer. Is the estimated

sign of γ2  (see Table III) in line with your expectation?

[12.5%]

3.3. Is there an empirical evidence that the future market does lead the spot market?

Justify your answer in view of the estimates reported in Table III.

[12.5%]

3.4. Which model is the best performer in the out-of sample forecast?   Justify your

answer. Why are the direction forecasts of particularly interest in this application? [12.5%]

4. In an application to daily exchange returns, Christoffersen (1998) evaluated the interval forecast from J.P. Morgan (1995), along with two competing forecasts.  Let εt  the one step-ahead forecast error. The interval forecast for εt  suggested by J.P Morgan is,


[Lt|t.1 (p), Ut|t.1 (p)] = zt4 ←一/σt  , zt4←一/σt

(4)


o

σt(2) = (1 - λ)      λjεt(2).j  = λσt(2).1 + (1 - λ)εt(2).1 ,        λ = 0.94.

j=0

and zα  satisfies Pr(Z 5 zα) = α . Z is assumed to have standard normal distribution.


 

Consistent with most of the literature on exchange rate prediction, J.P. Morgan does not model any conditional mean dynamics in its forecast. The time-varying interval in (4) is simply placed around a constant mean.

The first competitor is a GARCH(1,1) with Student’s t innovation (GARCH(1,1)-t). The second is a confidence interval based on the in-sample estimated unconditional distribu- tion (static forecast).

In this exercise we focus on the daily log-differences in the Japanese Yen vis-a-vis the U.S. Dollar.  A total of 4,000 observation (January 1980- May 1995) is used; the first half of the sample for parameter estimation, the second half for out-of-sample interval forecasting and forecast evaluation. The results are presented in Fig 1.

The top panel shows the LR statistics of conditional coverage for three interval forecast. The long dash is J.P. Morgan’s Risk-Metrics forecast, the solid line the GARCH(1,1) -t forecast, and the short dash is the static forecast.  The solid horizontal line represents the 5 percent significance level of the appropriate χ2 (k) distribution (3.84 and 5.99 for k = 1 and k = 2 degrees of freedom, respectively).

The test values are plotted for coverages p ranging between 50 and 95 per cent.  The middle and bottom panels show the corresponding values of the LR tests of unconditional coverage and independence, respectively.

4.1.  State the null and the alternative hypothesis for the LR test of conditional coverage. [20%]

4.2. Explain why it is important to test for conditional coverage?

[15%]

4.3.  Comment on the results displayed in Fig. 1.

[15%]

Appendix A reports some useful formula for some useful LR tests.

 


 

 

Figure 1:  Likelihood ratio statistics of conditional coverage (Lcc), unconditional coverage (Lud), and independence (Lind)



 

Appendix A

Consider the sequence of intervals { Lt|t.1 (p), Ut|t.1 (p)} with coverage probability p, for the time series {Xt}, t = 1, . . . n. Define the indicator variable

1,   if    Xt  e [Lt|t. 1 (p), Ut|t. 1 (p)]

It  = 

  0,   if   Xt    [Lt|t.1 (p), Ut|t.1 (p)]

(a)  The LR test of Unconditional Coverage (uc) is formulated as

LRuc = -2 log[L(p; I1, . . . , In)/L(; I1, . . . , In) ~ χ2 (1)

where

L(p; I1, . . . , In) = (1 - p)n pn4 ,        L(π; I1, . . . , In) = (1 - π)n π n4

are the likelihoods under the null and under the alternative, respectively.  ni  denotes the number of observations with value It = i, i = 0, 1, and  is the maximum likelihood estimator of π .

(b)  The LR test of independence (ind) is formulated as

LRind = -2 log[L(2 ; I1, . . . , In)/L(1 ; I1, . . . , In) ~ χ2 (1)

where 2  and 1  are estimators of the transition probability matrix under the null (Π2 ) and the alternative (Π 1 ), respectively, with

Π 1 =   ,        Π2 =   ,

πij  = Pr(It = j_It.1 = i) and

L(Π1 ; I1, . . . , In)   =   (1 - π01 )n卜卜 π0(n)1(卜4) (1 - π 11 )n4卜 π  L(Π2 ; I1, . . . , In)   =   (1 - π2 )(n卜卜 +n4πn4 +n44 ) .

 

(c)  The LR test of Conditional Coverage (cc) is formulated as

LRcc = 2 ln[L(p; I1, . . . , In)/L(1 ; I1, . . . , In)] = Luc + Lind ~ χ2 (2).