1.  Consider the following ARIMA(0,1,1) process

∆Xt = εt + θεt_1 ,        where   0 < |θ| < 1

and {εt} is a white noise with mean zero and variance σ 2 .

1.1.  Derive the Beveridge-Nelson decomposition. You should find that

t

Xt = (1 + θ)      εs _ θεt + (θε0 + X0) .

s=1

Show your calculations.

[20%] 1.2.  Compute the h_steps-ahead forecast for Xt .

[10%] 1.3.  Show that the forecast mean squared error can be written as ┌1 + (h _ 1)(1 + θ)2 ┐ σ 2

[20%]

2. Let Xt  = σtZt  be a GARCH(1,1), where {Zt} is a sequence of independent standard normal random variables, and

σt(2) = ω + αXt_(2)1 + βσt(2)_1 .

2.1.  Show that the h_step-ahead forecast σt(2)+hlt  of σt(2)  can be written as

h_2

(α + β)j + (α + β)h_1 σt(2)+1

j=0

(1)

[15%]

2.2. Assume (α + β) < 1.  Use the ARMA representation for Xt(2)  to compute σ 2 , the unconditional variance of Xt .

Show that equation (1) can be rewritten as

σ +hltt(2) = σ 2 + (α + β)h_1 (σ +1t(2) _ σ 2 )

Argue that σt(2)+hlt  converges to σ 2  as h → -.

[20%]

2.3.  Modify appropriately the above GARCH(1,1) to obtain a TGARCH  (Threshold

GARCH) . Compute the News Impact Curve and discuss briefly how the TGARCH you derived accounts for the leverage effect.

[15%]

3. If the financial market is efficient, the spot and future prices should never drift too far apart, suggesting that a cointegrating relationship might be appropriate.  Brooks, Rew and Ritson (2001) examines the lead-lag relationship between the FTSE 100 future contract (Ft) and its underlying asset, the FTSE 100 stock index (St) using 10-minutes observations for the period June 1996-1997.

Table 1 in Fig 1 reports the descriptive statistic and the Dickey-Fuller (DF) test for the two series.  ln(.) denotes the natural logarithm.  The returns st  and ft  in Panel C are defined as st = ∆ ln St  and ft = ∆ ln Ft .

Table 2 in Fig 1 display the results for the cointegration analysis.  Panel A reports the results for the regression

ln St = γ0 + γ1 ln Ft + Zt ,

whereas the residual-based test for cointegration is shown in Panel B. Panel C presents the estimates for the Error Correction Model (ECM)

∆ ln St = β0 + δ t_1 + β1 ∆ ln St_1 + α1 ∆ ln Ft_1 + vt ,

(2)

where vt  is an error term, and t  = ln St _ 0 _ 1 ln Ft.  Table 3 report the results for the ECM including the cash and carry cost (ECM-COC), obtained replacing t  on (2)

Figure 1: Stationarity and Cointegraton Analysis

with

t(COC) = ln St _ 0 _ 1 ln Ft _ 2 (r _ d)(T _ t).

where T is the maturity date of the future contract, r and d are the continuously com- pounded risk free rate and dividend yield, respectively.

Finally, the out of sample one-step-ahead forecasts for the ECMs have been computed (1040 10-minutes observations). The forecasts are then compared to the actual returns, with the forecast accuracies evaluated on the standard statistical criteria of root mean squared error (RMSE), mean absolute error (MAE), and the percentage of cases where the forecasts predict correctly the direction of movements of the spot index.  The com- parison results are reported in Table 4 (see Fig 2). The forecast from an ARMA model for st  have been included as a benchmark (ARIMA)

Figure 2: Comparison of out of sample forecasting accuracy

3.1. Are the series ln St  and ln Ft  stationary? Are the returns stationary?  Justify your

answers.

[12.5%]

3.2. Explain briefly the residual-based approach to test for cointegraton. Are ln St  and ln Ft  cointegrated? Justify your answer.

[12.5%]

3.3. Is there an empirical evidence that the future market does lead the spot market?

Justify your answer using the estimation output in Fig 1, Table 2, Panel C. Comment on all the coefficients.

[12.5%]

3.4. Which model is the best performer in the out-of sample forecast?   Justify your

answer. Why are the direction forecasts of particularly interest in this application? [12.5%]

The relevant critical values can be found in Appendix A.

4. In an application to daily exchange returns, Christoffersen (1998) evaluated the interval forecast from J.P. Morgan (1995), along with two competing forecasts.  Let εt  the one step-ahead forecast error. The interval forecast for εt  suggested by J.P Morgan is,

[Ltlt_1 (p), Utlt_1 (p)] = ┌z(0 −2)/1 σt  , z(0）2)/1 σt┐

(3)

o

σt(2) = (1 _ λ)      λjεt(2)_j  = λσt(2)_1 + (1 _ λ)εt(2)_1 ,        λ = 0.94.

j=0

and zα  satisfies Pr(Z < zα) = α . Z is assumed to have standard normal distribution.

Consistent with most of the literature on exchange rate prediction, J.P. Morgan does not model any conditional mean dynamics in its forecast. The time-varying interval in (3) is simply placed around a constant mean.

The first competitor is a GARCH(1,1) with Student’s t innovation (GARCH(1,1)-t). The second is a confidence interval based on the in-sample estimated unconditional distribu- tion (static forecast).

In this exercise we focus on the daily log-differences in the British Pound vis-a-vis the U.S. Dollar.  A total of 4,000 observation (January 1980- May 1995) is used; the first half of the sample for parameter estimation, the second half for out-of-sample interval forecasting and forecast evaluation. The results are presented in Fig 3.

The top panel shows the LR statistics of conditional coverage for three interval forecast. The long dash is J.P. Morgan’s Risk-Metrics forecast, the solid line the GARCH(1,1) -t forecast, and the short dash is the static forecast.  The solid horizontal line represents the 5 percent significance level of the appropriate χ2 (k) distribution (3.84 and 5.99 for k = 1 and k = 2 degrees of freedom, respectively).

The test values are plotted for coverages p ranging between 50 and 95 per cent.  The middle and bottom panels show the corresponding values of the LR tests of unconditional coverage and independence, respectively.

4.1.  State the null and the alternative hypothesis for the LR test of independence and

the LR test for unconditional coverage.

[20%]

4.2. Explain why it is important to test for conditional coverage.

[15%]

4.3.  Comment on the results displayed in Fig. 3.

[15%]

Appendix B reports some formulas about the LR tests.

Figure 3:  Likelihood ratio statistics of conditional coverage (Lcc), unconditional coverage (Lud), and independence (Lind)

Appendix A

Figure 4: Critical values DF test.

Figure 5: Critical Values Residual-based Unit Root Test.