Q1  (20 points) There are 213 students in ECOS3012. Each student must pick a real number x

between 0 and 100 (including 0 and 100). Let y be equal to  × the average of everyone’s number. A student’s payoff is equal to 1 if his number x is equal to y , and 0 if it isn’t.   (a) Is there a Nash equilibrium in which all students pick the same number x = 50? Explain why it is or isn’t a Nash equilibrium. (4 points)

(b) Find all Nash equilibria of this game. Explain your answer. (8 points)

(c) Let’s now change the rule. Suppose that a student’s payoff is equal to 1 if his number x is equal to y + 20, and 0 if it isn’t. Find all Nash equilibria of this game. Explain your answer. (8 points)

Q2  (20 points) Find all Nash equilibria of the following game.

Player 2

L       C       R

U

Player 1   M

D

Q3  (20 points) Three countries (A, B, and C) must decide whether to declare war on a common enemy.  A country cannot win the war alone, but if two or three countries declare war together, they will win for sure. Each country’s payoff is described by the following rule:

Let n be the total number of countries that declare war on the enemy. If a country declares war (D), its payoff is equal to

,．-10   if n = 1

．40      if n = 2

．．60      if n = 3

If a country does not declare war (N), its payoff is equal to 0.

(a) Find all pure-strategy Nash equilibria if the three countries decide simultaneously. Write down the game matrix and show your work. (8 points)

For parts (b) and (c), assume that the three countries decide sequentially: first A, then B, then C. Each country knows what the previous country(/ies) had decided.

(b) Write down the game tree and find the subgame perfect equilibrium.  Clearly write down each country’s strategy in the equilibrium. (7 points)

(c) Find a Nash equilibrium that is not subgame perfect.   Explain why it is a Nash equilibrium. (5 points)

Q4  (20 points)  Consider the chicken game detailed below  repeated  three  times.   Each player’s total payoff in the repeated game is the undiscounted sum of the payoffs in the three rounds.

Player 2

Swerve   Keep going

Also consider the following strategy, where S stands for “Swerve” and K stands for “Keep going”:

Play (S, S) in the first round.

Play the mixed strategy Nash equilibrium of the chicken game in the second and third rounds if (S, S) or (K, K) was played in the first round.

Play (S, K) in the second and third rounds if (K, S) was played in the first round. Play (K, S) in the second and third rounds if (S, K) was played in the first round.