1.   (a) Let

fn (x) = , 1(n)2x2

if

if

0 ≤ x ≤  ,

 < x ≤ 1.

Does the sequence (fn )n41(o)  converge pointwise on [0, 1]?

If it does, what is the limit function?

Does the sequence (fn )n41(o)  converge uniformly on [0, 1]?

Justify your answers.

(b) Can the series

o    (cos(nx) + n3 )1/扌

扌

be approximated to arbitrary precision by a polynomial, uniformly for x ∈ [0, 1]? Justify your answer.

(c) Are either of the sets

(i) {sin(ax) + b : a > 0, b ∈ [1, 3]}

(ii) {sin(ax) + b : a ∈ [1, 2], b > 0}

compact in (C[0, 1], |．|Ul— )?

Justify your answers.

2. Let (X, d) be a metric space.

(a) Let (Kn ) be a sequence of non-empty compact subsets of X such that Kn八1  ∈ Kn for all n ∈ N. Prove that    n41(o) Kn  is non-empty.

(b) Let K be a non-empty compact subset of X and let x ∈ X. Show that there exists y*  ∈ K such that d(x, y* ) = infyeK d(x, y).

(c) Given S ∈ X and ∈ > 0 let Se  = {x ∈ X : d(x, y) ≤ ∈ for some y ∈ S}.

(i) Show that if ∈, ∈o  > 0 then (Se )e/   ∈ Se八e/ . Is it always true that (Se )e/   = Se八e/ ? (ii) Show that if S is compact then Se  is closed and bounded.

(iii) Is it always true that if S is compact then Se   is compact?   Justify your

answer.

(iv) Describe Se  in the case where X = R2 , d is the metric induced by the norm

|．|o , and S = {(x, 0) : x ∈ [0, 1]}.

3. For non-empty subsets X and Y of R, define

,                                                ←

Let K denote the set of all non-empty compact subsets of (R, I．I).

(a)  Show that (K, d) is a metric space.

Hint : Note that by Q2(b) when X, Y ∈ K the infima in the definition of d(X, Y) can be replaced by minima (i.e. the infima are attained).

(b)  Show that, for X, Y ∈ K and ∈ > 0,

d(X, Y) ≤ ∈ ← X ∈ Ye  and Y ∈ Xe ,

where, for a non-empty subset X of R and ∈ > 0,

Xe  = {y ∈ R : Ix - yI ≤ ∈ for some x ∈ X}.

(c) Which of the following sets is contained in the closed ball B([0, 1], 1/4)?

(i)  [-1/4, 3/4] (ii)  {1/2}

Justify your answers.

(d)  Show that (K, d) is complete.

Hint: Given a Cauchy sequence (Xn ) in (K, d), define

o                    

X =              Xn ,

N41 n/N

then show that X ∈ K and d(Xn , X) → 0 as n → &.