This assignment is due on Friday, April 15th at 11:59PM. To receive credit for an answer, you must concisely show your work and/or explain your reasoning. Please include all computer codes that support your work in the Canvas submission. Please follow the homework policy stated in the syllabus.

Problems marked (A) require you to derive analytic mathematical expressions for the solution, whereas problems marked (C) require you to write computer code. For each problem marked (C), if you are writing your solution in R, please set your RNG seed using set .seed(440) at the beginning of your code solution.

1.  (A) Suppose X is a discrete random variable with pmf     f (x) =  ,  x = 1, 2, 3,

where the unknown parameter θ ∈ {−1, 0, 1}. Suppose a random sample is ob- served in this distribution: X1  = 3,X2  = 2,X3  = 3,X4  = 1. Find the maximum likelihood estimate of θ based on these observations.

2.  (A) Let independent random samples X1j , . . . ,Xnj, each of size n, be taken from the k normal distributions with means µj  = c + d[j − (k + 1)/2], j = 1, . . . , k, respectively, and common known variance σ2 . Find the maximum likelihood estimators of c and d, where both c and d are unconstrained unknown constants.

3.  Researchers are investigating the effect of CO2 concentration level on the growth of plants. There were two trees at each of four levels of CO2 concentration, and the mass of each tree was measured after 11 months of the experiment. Below are the observations with x indicating atmospheric concentration of CO2 in microliters per liter (parts per million) and y indicating mass in kilograms. Researchers are interested in building a statistical model to predict y from x.