AIMS

1.   To demonstrate principles of systems engineering through modelling and analysis.

2.   To introduce the MATLAB  mathematical  programming  and simulation  environment  as a rapid prototyping tool for use in the systems engineering process.

3.   To introduce component tolerance analysis.

4.   To further develop self-learning skills.

5.   To further develop your technical report writing capabilities.

ASSESSMENT METHOD

A written report describing each experiment undertaken with a graphical representation of the results to be submitted on Friday 20th May 2022 by 23.59 (Semester 2 Week12).

1. Introduction

In this assignment you will be introduced to the concept of component tolerances and examine the effects of component variation on a number of different circuits by using extreme value analysis and by using MATLAB to perform Monte Carlo analysis. All electronic components are subject to variation, and it is essential that the systems engineer accounts for these variations during the design process, so  their  system  meets  the  specification  under  normal  operating  conditions.  By  the end  of this assignment,  you should  have  learnt  the  importance  of accounting  for the effects  of component variation during the design process in order to maximise yield.

The  assignment   is  a  self-learning  exercise  and  should  be  attempted individually .  It  is  the responsibility of the student to allocate sufficient time to complete the required tasks by the deadline .

The student is reminded that this assignment contributes ~ 20% of the final grade for EEE119 Coursework. Assessment  of this work will be in the form of an assignment written in the style of a technical report in which you should describe your investigations, simulation  experiments  and the results,  and findings of these experiments.  You should also  include  any  recommendations  and conclusions that you draw from this work. The deadline for the report is by 23.59 on Friday 20th May 2022 which time an electronic copy must be submitted to Turnitin. Reports submitted to Turnitin after this date will be penalised.

You have been introduced to MATLAB. Appendix A1 contains a list of MATLAB functions which you may  find  useful.  Further  details  regarding  MATLAB/Simulink   can  be  found  on  the  EEE119 Blackboard  page. The MATLAB/Simulink  software is available through the University's  Managed Desktop Service that is available in the Student Computer Rooms (inc. Information Commons  and the Diamond). MATLAB is also available as a software download on MUSE should you wish to use your own computer. You may use GNU Octave [1], a free alternative to MATLAB, should you wish.

Theremainder ofthisdocument isdivided into4sections:

‡ Section2 introducestheconceptofyieldandcomponent tolerance

‡ Section3describescomponent toleranceanalysistechniques

‡ Section4describesthe individualexercises

‡ Section5describesthereportrequirements

2. Yield and Component Tolerances

Yield isaperformance measure formanufacturing processesand isdefinedas:

ሺͳሻ

⃞⃞ ݐ⃞⃞ ⃞ ⃞⃞⃞⃞ ⃞⃞ ݐ⃞⃞⃞ ⃞ݐ⃞ݑ⃞⃞⃞⃞ ⃞⃞Ǥ ⃞⃞

⃞⃞⃞ݑݐ⃞⃞⃞ݑ⃞⃞⃞ ⃞ݐ⃞ݑ⃞⃞⃞⃞ ⃞⃞Ǥ ⃞⃞ ⃞⃞ݐ⃞⃞

Maximising yieldisveryimportantsince itminimises wastageandthereforemaximises profits.Since yield is linked to design and manufacture there are severalways inwhich itcan be maximised. In thisassignment youwillexamine theeffectofcomponent toleranceonyield.

Most electronic components are characterised by a number of parameters which, along with a suitable mathematical model, allow the circuit designer to predict the behaviour of their circuit. Manufacturers specify the component's nominal parameter value and also specify a tolerance or rangeofvaluestorepresentthenaturalvariationsthatoccurfromcomponent tocomponent because of differences with raw materials, processing, tooling, etc. Passive components are available in 'preferred values',wherethe manufacturer attempts tocreateacomponentwithaspecificvalue ± a given tolerance. Resistors,forexample, areavailable inthe E-range ofpreferred valueswhere the number ofvalues availablespans adecade. TheE-24rangedividesthedecade between 1and 10 into24bins(ordiscreteresistorvalues)andeachbinhasatoleranceof5%.TheE-96rangedivides thedecadeinto96binsand providesatoleranceof1%.Capacitors andinductorsarealsoavailable in preferred values; however, theyareoften subjecttogreatervariation and it istypical tosee both capacitors andinductorswithatoleranceof ±10%.

3. Component Tolerance Analysis

This section introduces the principles of component tolerance analysis which will be used subsequently toanalyse theperformance ofanumber ofcircuits insection4.

3.1 ExtremeValueAnalysis

With Extreme Value Analysis (EVA), one compares the performance of a circuit evaluated with nominal component valueswiththe performance ofthecircuitwhenthecomponent values takeon their extreme tolerance values. By way of example, consider a circuit consisting of two series connected resistors ⃞ ⃞ and ⃞ଶ   whose combined value is ⃞ ் , ⃞ ்  ൌ ⃞ ⃞ ⃞ ⃞ଶ . To evaluate the performance of this circuit when subject to component tolerances, consider a perturbation in the valueofresistorisuchthat ⃞ ⃞ ՜ ⃞ ⃞ሺͳ േ ο⃞ ⃞ሻ where ο⃞ ⃞  represents theresistor's tolerance (i.e.0.05 or 5%). Assuming ⃞ ⃞ and ⃞ଶ    have similar component tolerances (ο ൌ ο⃞ ⃞ ൌ ο⃞ଶሻ then, ⃞ ்ሺͳ േ ο⃞ ்ሻ ൌ ⃞ ⃞ሺͳ േ οሻ ⃞ ⃞ ⃞ሺͳ േ οሻ . Taking the extreme positive value reveals ο⃞ ்  ൌ ο, i.e. the tolerance remains unchanged inthis example. Although this technique can beapplied to most component parameters it quickly becomes cumbersome for large circuits since the number of interacting components increase making it difficult to extract useful information. Furthermore, for

certain circuits one has to make a judgement  on whether to use a positive or negative tolerance value to maximise  effects.

3.2Monte Carlo analysis

In  Monte  Carlo  analysis  many  hundreds  or  thousands  of  circuit  evaluations  (simulations)  are evaluated to determine the effects of component tolerance on yield. Each simulation uses a randomly chosen set of component values that exist in the range permitted by the tolerance bounds and the components'  values are obtained from  probability distributions.  Thus, many  different component value scenarios are evaluated allowing a more in depth understanding of cause and effect.

Returning once again to our resistor example and using x to represent a randomly generated number in the range 0 to 1. If the resistor values obey a uniform distribution (i.e. each resistor value has an equal chance of appearing), the value of the resistor, , for a single simulation can be determined using ⃞⃞⃞ሾͳ ⃞ ʹሺݔ െ Ͳ Ǥͷሻο ሿ where ⃞⃞⃞ is the nominal or mean resistor value and ο is the PS  QHQW W  OHUDQ H)LJXUHVK  ZVDKLVW  JUDP IUHVLVW  UYDOXHVI  UDNȍ“W  OHUDQ HUHsistor generated using the uniform probability distribution described above. The MATLAB program code used to generate the Figure 1 is given in Appendix A2 where the random number ݔ was generated using the MATLAB rand function.

Figure 1: Histogram showing frequency of resistor values for a uniform distribution

Many  components  are  characterised  by  a  Gaussian  (normal)  probability  distribution ,  which  is governed by (2), where ⃞ሺݔǡ ߤ ǡ ߪ ሻ is the distribution, ݔ is the distance from the mean, ߤ is the mean and ߪ LV WKH VWDQGDUG GHYLDWL  Q )LJXUH VK  ZV D KLVW  JUDP I UHVLVW  U YDOXHV I  U D Nȍ “ tolerance resistor generated using the Gaussian probability distribution. The MATLAB program code used to generate Figure 2 is given in Appendix A3 and uses a MATLAB function called randn to generate Gaussian distributed random numbers with a standard deviation of 1 and mean value of 0. The multiplier factor 1/3 in Appendix A3 ensures that 99.7% of all generated numbers lie within the tolerance bounds.

ݔ ǡ ߤǡ ߪሻ ൌ െ൭ ⃞⃞⃞ ቈ ⃞ ⃞ ͳሻ

When  performing  Monte  Carlo analysis,  the  random  numbers  associated  with each component parameter  should  be  independent.  Thus,  a  circuit  characterised  by n parameters   requires n independent random numbers to be generated per Monte Carlo simulation.

Figure 2: Histogram showing frequency of resistor values for a Gaussian distribution

4. Exercises

This section describes Three exercises for you to work through.

4.1 Inverting OpAmp

The Inverting OpAmp  circuit in Figure 3 is used to generate an amplified voltage ⃞⃞ for a cascaded oscillator system. The Inverting feedback network controls the overall gain of the system and consists of resistors ⃞ ⃞ ൌ ͷ⃞ȳ and ⃞ଶ  ൌ ͳͲͲ ⃞ȳ . Resistors ⃞ ⃞ and ⃞ଶ are assumed to have the same tolerance rating, i.e. ȁοȁ ൌ ȁο⃞ ⃞ȁ ൌ ȁο⃞ଶȁ . The inverting op-amp system is designed to operate at a voltage

gain, ȁ ⃞ ȁ ൌ ቚ ⃞⃞ൗ⃞⃞⃞ ቚ , and specified to be 20 ±3%.

1.    Explain the inverting op-amp principle of operation. Illustrate on the concept of virtual earth.

2.    Derive  the voltage  gain  expression ⃞ ൌ ⃞⃞ൗ⃞⃞⃞ሻ ,  in terms  of ⃞ ⃞⃞⃞⃞ ⃞ଶ , for the  inverting feedback network connected across the amplifier.

EEE119 Digital Systems Engineering Assignment v0. 1                                                                       P a g e  4 | 9

3.   Using Extreme Value Analysis (EVA), derive an expression for the tolerance in the inverting op-amp voltage gain  ǻ*  IHDWXULQJ WKH UHVLVWRU FRPSRQHQW WROHUDQFH , and the nominal value of the voltage gain, .⃞

4.   Using your expression  from  above  (Step 3), determine  the voltage  gain tolerance  if the inverting op-amp feedback resistors have a tolerance of i) ൌ േͳΨ , ii) ൌ േʹΨ , iii) ൌ േͷΨ and iv) ൌ േͳͲΨ . Using a table, compare your results from the equation generated in Step 3, with exact results obtained from the voltage gain equation and state whether the EVA results meet the specification.

5.   Assuming  the resistor values follow a uniform distribution, perform Monte Carlo analysis to determine  the yield (how many  meet the specification) for a run of 20,000 circuits for the following component tolerance values: i) ൌ േͳΨ , ii) ൌ േʹΨ , iii) ൌ േͷΨ and iv) ൌ േͳͲΨ . Include a histogram of the inverting op-amp  voltage gain for each tolerance value in your report. Provide a plot of yield versus tolerance in your report.

Hint: 0$7/$%¶V find command  may help here.

6.   Using your expression from Part 3, determine the largest possible resistor tolerance value ሺ ሻ that would ensure the specification is always achieved.  Show your working out.  Prove your result using a Monte Carlo analysis of 20,000 circuits using a uniform probability distribution and provide evidence of this in your report.

4.2 Active Low Pass Filter

The active Low Pass Filter (LPF), shown in Figure 4, is used to pass frequency signals below 100kHz for a measurement  system. An active LPF is constructed by integrating the LPF components within the feedback  network of the differential operational amplifier  (op-amp).  The active low pass filter is specified to have a gain ⃞ ൌ  ʹͲ ⃞⃞⃞  corner frequency ⃞⃞  ൌ ͳͲͲœ േ ͷΨ . The component values are specified as ⃞⃞⃞ ൌ ͺͲȳ ǡ ⃞ ൌ ͳǤ⃞⃞ȳ ⃞⃞⃞ ⃞ ൌ ͳ⃞⃞ േ ͷΨ .

Figure 4: Active low pass filter

1.   Explain  the principle of operation for the active low pass filter ± op-amp system,  shown in Figure 4. What are the practical advantages of such circuit configuration?

2.   Derive the overall circuit transfer function characteristics ⃞⃞ൗ⃞⃞⃞ in terms of ⃞⃞⃞ ǡ ⃞ ⃞⃞⃞ .⃞ Then, identify the op-amp gain component, the LPF transfer function and corner frequency ⃞⃞ . What are the circuit components that define the performance of the LPF?

3.    If ⃞⃞⃞ሺݐሻ ൌ  ʹ •‹ሺʹߨ ൈ ͳͲସݐ ሻ , plot ⃞⃞⃞ሺݐ ሻ ⃞⃞⃞ ⃞⃞ሺݐሻ on the same graph.

EEE119 Digital Systems Engineering Assignment v0. 1                                                                       P a g e  5 | 9

For the next set of tasks (in Section 4.2: task 3 till task 8), the LPF is treated in isolation.

4.  Draw the LPF circuit in isolation, and state the expression for the LPF corner frequency.

5.  Using extreme value analysis, derive the expression for the LPF corner frequency tolerance,  ⃞ , featuring the resistor component tolerance, , and the capacitor tolerance, .

6.  Using your expression from above, determine the tolerance in the LPF corner frequency if the resistor ሺ⃞ሻ has a tolerance of i) ൌ േͳΨ , ii) ൌ േʹΨ , iii) ൌ േͷΨ and iv) ൌ േͳͲΨ . Do any of these tolerance ratings meet the specification? Using tabular format, compare your results with those obtained using the expression for the corner frequency.

7.  Assuming the LPF resistor and capacitor values follow a Gaussian distribution, use Monte Carlo analysis to determine the yield for a run of 20,000 circuits for the following resistor component ሺ⃞ሻ tolerance values: i) ൌ േͳΨ , ii) ൌ േʹΨ , iii) ൌ േͷΨ and iv) ൌ േͳͲ . Include a histogram of the LPF corner frequency for each tolerance value in your report. Provide a plot of yield v's tolerance in your report.

8.  Using your expression from Part 5, determine the largest possible capacitor tolerance value that will always ensure the specification is achieved if the resistor ሺ⃞ሻ has a tolerance ൌ േʹΨ . Show your working. Prove your result using a Monte Carlo analysis of 20,000 circuit assuming both components obey a uniform probability distribution, providing evidence of this in your report and discussing the results.

9.  Using the values determined in Part 8, perform Monte Carlo analysis of 20,000 circuits assuming both components obey the Gaussian probability distribution and compare with the distribution obtained from Part 8. Comment on your results.

4.3 Voltage limiting circuit

In this section you will analyse the performance of a voltage limiting circuit. The circuit in Figure 5 is typically used to protect sensitive circuit components, such as analogue-to-digital converters (ADCs), from receiving excessive input voltage levels. It operates in the following manner: i) the potential divider formed by ⃞ ⃞ and ⃞ଶ sets the limiting level (labelled ⃞௫ in Figure 5) ; ii) when the input voltage ⃞⃞⃞ is below this level the output voltage ⃞⃞௨௧  ൌ ⃞⃞⃞; iii) for input voltages above the limit level, diode D conducts and ⃞⃞௨௧  is clamped to ⃞௫ .

Figure 5: Voltage limiting circuit

For the purpose of this assignment the following assumptions are made:

‡  The output impedance of ⃞⃞⃞ is zero.

‡  The input impedance of ⃞⃞௨௧  is infinite.