In this assignment you will build a Graph module in C that implements Depth First Search (DFS).  You will use your Graph module to find the strongly connected components of a digraph.  Begin by reviewing sections 22.3-22.5 of the text.

A digraph  G  (V, E)  is said to be strongly connected iff for every pair of vertices  u, v V , vertex u is reachable from v, and vertex v is reachable from u.  More generally we say a subset  X  V  is strongly connected iff every vertex in X is reachable from every other vertex in X.  A strongly connected subset that is maximal with respect to this property is called a strongly connected component of G.   In other words, X  V  is a strongly connected component of G  if and only if (i) X is strongly connected, and (ii) the addition of one more vertex to X would create a subset that is not strongly connected.

Example1               2               34

G:

 

5                6

 

We  can  see that this  digraph  contains  4

C3   6{, 7} , and C4   8{} .

 

To find the strong components of a digraph G call  DFS(G) .  As vertices are finished, place them on a stack.   When DFS is complete the stack stores the vertices ordered by decreasing finish times.   Next compute the transpose  GT    of G, obtained by reversing the directions on all edges of G.   Finally run DFS(GT ) , but in the main loop (lines 5-7) of DFS, process vertices in order of decreasing finish times from the first call to DFS.   This is accomplished by popping vertices off the stack.   When the whole process is complete, the trees in the resulting DFS forest span the strong components of G.  Note that the strong components of G are identical to the strong components of  GT  .   See the algorithm Strongly- Connected-Components and proof of correctness in section 22.5 of the text.

In this project you will again create a graph module in C using the adjacency list representation.  Your graph  module  will,  among  other things, provide the  capability of running DFS,  and  computing the transpose of a directed graph.  DFS requires that vertices possess attributes for color (white, black, gray), discover time, finish time, and parent.  Here is a catalog of required functions and their prototypes:

/* Constructors-Destructors */

Graph newGraph(int n);

void freeGraph (Graph* pG);

/* Access functions */

int getOrder(Graph G);

int getSize(Graph G);

int getParent(Graph G, int u);  int getDiscover(Graph G, int u); int getFinish(Graph G, int u);

/* Pre: 1<=u<=n=getOrder(G) */

/* Pre: 1<=u<=n=getOrder(G) */

/* Pre: 1<=u<=n=getOrder(G) */

 

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/* Manipulation procedures */

void addArc (Graph G, int u, int v);

void addEdge(Graph G, int u, int v);

void DFS(Graph G, List S);

/* Pre: 1<=u<=n, 1<=v<=n */

/* Pre: 1<=u<=n, 1<=v<=n */

/* Pre: getLength(S)==getOrder(G) */

/* Other Functions */

Graph transpose (Graph G);

Graph copyGraph(Graph G);

void printGraph(FILE* out , Graph G);

Function newGraph() will return a reference to a new graph object containing n vertices and no edges. freeGraph() frees all heap memory associated with a graph object and sets its Graph argument to NULL.   Function getOrder() returns the number of vertices in G, getSize() returns the number of edges and functions getParent(), getDiscover(), and getFinish() return the appropriate field values for the given vertex.  Note that the parent of a vertex may be NIL.  The discover and finish times of vertices will be undefined before DFS is called.  You must #define constant macros for NIL and UNDEF representing those values, and place the definitions in the file Graph.h.   The descriptions of functions addEdge() and addArc() are exactly as they were in pa4.   Note that as in pa4, it is required that adjacency lists  always  be processed  in  increasing  order by vertex  label.    It  is  the responsibility of functions addEdge() and addArc() to maintain adjacency lists in this sorted order.

Function  DFS() will perform the depth first  search  algorithm on  G.   The argument List S has two purposes in this function.  First it defines the order in which vertices will be processed in the main loop (5-7) of DFS.  Second, when DFS is complete, it will store the vertices in order of decreasing finish times, in other words S is a stack.  The List S can therefore be classified as both an input and an output parameter to function  DFS().   You should utilize the List module you created in pa2 to implement S and the adjacency lists representing G.  DFS() has two preconditions: (i) getLength(S)==n, and (ii) S contains some permutation of the integers {1, 2, ..., n} where n=getOrder(G).  You are required to check the first precondition but not the second.

Recall DFS() calls the recursive algorithm Visit() (DFS-Visit in the text), and uses a variable called time that is static over all recursive calls to Visit().  Notice this function is not mentioned in Graph.h and therefore is to be considered a private helper function in the Graph ADT.  There are at least three possible approaches to implementing Visit().  You can define Visit () as a top level function in your graph implementation file and let time be a global variable whose scope is the entire file.  This option has the drawback that other functions in the same file would have access to the time variable and would be able to alter its value.  The second approach is to let time be a local variable in DFS(), then pass the address of time to Visit (), making it an input-output variable to Visit ().   This is perhaps the simplest option, and is recommended.   The third approach is to again let time be a local variable in

DFS(), but then nest the definition of Visit() within the definition of DFS().  Since time is local to DFS(), it’s scope includes the defining block for Visit(), and is therefore static throughout all recursive calls to Visit().  This may be tricky if you’re not used to nesting function definitions since there are issues of scope to deal with.  If you pick this option, first experiment with a few simple examples to make sure you know how it works.  Note that although nesting function definitions is not a standard feature of C, and is not supported by many compilers, it is supported by the gcc compiler (even with the –std=c99 flag for some reason).  If you plan to develop your project on a platform other than the UCSC ITS Unix timeshare, this approach might not be possible.

Function transpose() returns a reference to a new graph object representing the transpose of G, and copyGraph() returns  a  reference  to  a  new  graph  that  is  a  copy  of  G.    Both  transpose() and

copyGraph() could  be  considered  constructors  since  they  create  new  graph  objects.     Function printGraph() prints the adjacency list representation of G to the file pointed to by out.   Obviously there is much in common between the graph module in this project and the one in pa4.  If you wish, you may simply add functionality necessary for this project to the previous module, although it is not required that you do so.  You should make note of choices such as this in your README file.

The  client  of your  Graph  module  will be  called  FindComponents.    It  will  take two  command  line

arguments giving the names of the input and output files respectively:

 

% FindComponents infile outfile

The main program FindComponents will do the following:

 

    Read the input file.

    Assemble a graph object G using newGraph() and addArc().

    Print the adjacency list representation of G to the output file.

    Run DFS on G and GT  , processing the vertices in the second call by decreasing finish times from

the first call.

    Determine the strong components of G.

    Print the strong components of G to the output file in topologically sorted order.

 

After the second call to DFS(), the List parameter S can be used to determine the strong components of G.  You should trace the algorithm Strongly-Connected-Components (p.554) on several small examples, keeping track of the List S to see how this can be done.  (I will also cover this in class.)  Input and output file formats are illustrated in the following example, which corresponds to the directed graph on the first page of this handout:

Input:                                                 Output:

8                         Adjacency list representation of G:

1 2                       1: 2

2 3                       2: 3 5 6

2 5                       3: 4 7

2 6                       4: 3 8

3 4                       5: 1 6

3 7                        6: 7

4 3                       7: 6 8

4 8                       8: 8

5 1

5 6                       G contains 4 strongly connected components:

6 7                       Component 1: 1 5 2

7 6                       Component 2: 3 4

7 8                       Component 3: 7 6

8 8                       Component 4: 8

0 0

 

Observe that the input file format is very similar to that of pa4.  The first line gives the number of vertices in the graph, subsequent lines specify directed edges, and input is terminated by the ‘dummy’ line 0 0. You are required to submit the following eight files:

 

README

Makefile

List.h

 

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