1. Find the probability generating function for the distribution of the sum of the rolls of two tetrahedral (4-sided) dice.

2.  The hypergeometric distribution for the probability of drawing exactly k white stones from an urn filled with K white stones and N black stones in m draws without replacing any stones

is

(N choose n)(K choose k)

(N + K choose n + k)

where  “x choose y” = x!/(y!(x − y)!).  Show that when the number of stones in an urn is taken to be large, but of fixed initial proportion, then the hypergeometric distribution for drawing a small number of stones from the jar is approximately a binomial distribution, and hence, approximately a Poisson distribution.

3. Is the number of major hurricanesreaching Florida each year between 1850 and 2010 Poisson- distributed? Fit a Poisson distribution, report the best λ value, and discuss the fit.

4.  Problem 6 in the Horse kicks and height section of the text gives a data set for maximum rainfalls in Brussels, Belgium over a 50 year period. Two possible models of this data are the normal distribution (a.k.a.  the normal distribution) and Gumbel’s distribution.  Gumbel’s distribution, used frequently in risk analysis to describe extreme natural events, seems the better choice a priori, but we’d like to test this hypothesis ourselves.

(a)  Plot the time series.

(b)  Plot the empirical cumulative distribution function (CDF) for the maximum daily rain-

fall.

(c) Find the normal distribution under which the data are most likely.

(d) Use numerical minimization to find the form of Gumbel’s distribution under which the data are most likely.

(e)  Draw the empirical CDF, togethor with the best-fit normal CDF and the best-fit Gumbel

CDF together on a single plot.  Using this plot, discuss the quality of the distribution fits.

5. In 1910, Ernest Rutherford (Nobel Chemist) and Hans Geiger (creator of the Geiger counter) published a short study on radioactive decay based on the observation of α-particles.   α- particles are pieces of an atomic nucleus released during radioactive decay. They are made of 2 protons and 2 neutrons held together by the strong force – essentially the same as a helium

atom’s nucleus. Because the mass of an α-particle is similar to that of other small atoms, they can have big effects on those atoms when moving at high speed. One of these effects is called “scintillation”, in which an α-particle causes the molecule it strikes to emit a burst of light. This light can be recorded in a photograph, allowing us to “see” α-particles.  Show that the α-particle data below collected by Rutherford and Geiger can be well-explained by a Poisson distribution and find the most likely intensity λ.  What does this imply about the creation of α-particles? The data is also available in problem 1 of the Telephone traffic section of the text.

6. Here’s your chance to do your own version of the meteor model.  Use this script (rename it to be a .py file) to retrieve a data set of dates and times of observations of meteor arrivals.

(a)  Make a rank-arrival plot of the data from 1995 to 2005, where the independent variable

is the rank of the arrival time (the first meteor is rank 1, the second to arrive is 2, . . . ) against the actual arrival time. If that curve is a perfectly straight line, that means the meteors are arriving at a constant rate with a regular period in between.  If the curve is a little irregular but still mostly straight, that means the time between arrivals has some randomness, but the average arrival rate is constant. If this plot was more of steps or a zig-zag, that would mean meteors were arriving in clusters.  If the plot is concave or convex, that would suggest a changing rate of arrival.

(b)  Based on the total number of meteor arrivals from 1995 to 2005, what was the average

arrival rate (per day)?

(c)  Plot a histogram of the number of meteors arriving every 45 days over the same 10 years.

(d) Fit a Poisson distribution to this histogram and estimate the Poisson distribution’s intensity parameter λ.  Plot your your histogram and your fit Poisson distribution on top of each other so we can compare them.

(e) If the meteors are really arriving according to a Poisson process, the times between

meteor arrivals should be exponentially distributed. Are they?

7.  Suppose the probability of a single on-going telephone call will last less than than t minutes is 1 − e −rt . We saw in class that the probability that there are k calls at time t is given by a binomial distribution based on the probability of a single call,

pk(t) = ╱ k(n) 、pk (1 − p)(n −k) = ╱ k(n) 、e −krt(1 − e −rt)(n −k) .

Suppose we know there are currently m ongoing calls. What’s the mostly likely estimate for the time passed since calls stopped arriving?

8. If telephone calls arrive at a rate of 1 per minute and last an average of 8 minutes, how many phone lines would you need from a neighborhood to make sure the system is maxed out no more than 1% of the time?

9. When the number of subscribers is relatively small, Erlang’s theory is not a good approxima- tion because as more calls are placed, the number of subscribers who might place a new call decreases. In 1918, Tore Engset published an analysis of this problem.

(a) Assuming there are S subscribers and N lines with N < S, that the hazard rate for each

individal subscriber to place a call is a and that the hazard rate for each individual call