SECTION A

Q1   1.1 Let Π be the plane in 皿3  passing through the points

╱ 3(3) 、       ╱ 、3(1)                  ╱ 1(2) 、

(i) Find the equation of Π in the form ax + by + cz = d.

(ii) If L is the line in 皿3  passing through both the origin and the point ╱  、,

at what point in 皿3  does L intersect Π?

1.2  Calculate the area of the parallelogram in 皿2  with the following vertices: ╱ 、1(1) ,     ╱ 、2(2) ,     ╱ 、2(4) ,    and     ╱ 、3(5) .

Q2  2.1 Find the inverse of the following matrix, clearly outlining your method.

╱ 、

．）1   0   0    2 ．

2.2 Determine the value of t à 皿 for which the linear system of equations

x1     +   2x2     +   3x3     =   t,

2x1     +   2x2     +   2x3     =   1,

3x1     +   2x2     +     x3     =   1,

has a solution. Find the general solution in this case.

Q3 Let Mn (皿) be the real vector space consisting of all n ( n matrices with real entries.

3.1  Suppose A1 , A2 , . . . , Ak  are k linearly independent matrices in Mn (皿), and that

P and Q are two invertible matrices in Mn (皿). Show that the k matrices PA1 Q,  PA2 Q, . . . , PAk Q,

are linearly independent.

3.2 For any fixed matrix B in Mn (皿), show that the subset

WB  = |A à Mn (皿)  :  AB = ）BA女

is a vector subspace of Mn (皿).

3.3 Assume A and B are two matrices in Mn (皿) such that AB = ）BA.  Prove that A and B cannot both be invertible if n is odd.

Q4  Consider the linear map S : 皿4  ≠ 皿4  defined by

╱ x 、         ╱ x ） z 、

S．．．．．． = ．．．．．． .

4.1 Find the matrix A representing S, with respect to the standard basis vectors of 皿4 , and determine the rank and nullity of A.

4.2 Find a basis for ker(S) and im(S) and show that

ker(S) | im(S)  =  |0女.

4.3 Hence, or otherwise, prove that

ker(S) è im(S)  = 皿4 .

Q5 Let 皿[x]n be the (n+1)-dimensional vector space consisting of all polynomials whose

coefficients are real and whose degree is at most n.

For each k = 0, 1, . . . , n define the linear map Tk  : 皿[x]n  ≠ 皿[x]n  by

Tk (p(x))  = p (x) + p(1)x/k ,

where we write p/  for the first derivative of p (with respect to the variable x).

5.1 Prove that ker(Tn ) = |0女, where 0 is the zero polynomial.  Hence, determine the rank of Tn .

5.2 For any k < n, evaluate Tk (pk (x)), where

k + 2      xk+1

k + 1     k + 1 .

Hence, or otherwise, determine the values of k for which Tk  is an isomorphism.

5.3 For the case n = 3, write down the matrix representing T2  with respect to the standard basis of 皿[x]3 .

SECTION B

Q6  Given the matrix

A =  ╱、

．0   0   ）2．  ,

find P such that P-1 AP is diagonal, clearly outlining your method. Use this result to compute A10  (brute force calculation is not allowed).

Q7 Let V be the vector space 皿[x]3  of real polynomials of degree at most three and let

4 : V |≠ V be the linear operator

4 (p(x)) = p(x + 1) ）  (0 x p(y)dy ,

with p(x) à 皿[x]3  and a à 皿.  Find the matrix representing the linear operator 4 on V using the standard basis |1, x, x2 , x3 女.   Show that for a = 4 one of the eigenvalues of the operator 4 is equal to ）1 and then compute the eigenfunction corresponding to this eigenvalue.

Q8  8.1 Find the necessary conditions on the real parameters a and b so that (x, y) = 3x1y1 + x1y2 + ax2y1 + 2x2y2 + x3y2 + x2y3 + bx3y3

defines an inner product on V = 皿3 .

8.2 If V = 皿4  is given the standard inner product, find an orthonormal basis for the subspace determined by the equation

x1 ）x2 + x3 ）x4  = 0 ,

and then extend this basis to an orthonormal basis for all V = 皿4 .

Q9 Let V be a complex vector space with inner product < , > and let 4 : V ≠ V be

a linear hermitian operator with respect to this inner product. First prove that the eigenvalues of 4 must be real and then show that if z, w à V are eigenvectors of 4 corresponding to different eigenvalues then they must be orthogonal.

Q10 Let H be the set of matrices of the form

A =  ╱0(1)   1(a) ．0   0

b(c)、

1．  ,

with a, b, c à 勿.  Show that H is a group with respect to matrix multiplication.  Is the group abelian? Justify your answer.  [You may assume associativity]