SECTION A

Use a separate answer book for this Section.

1.   (a) Let R[x]n  be the set of polynomials of degree at most n. Assume n > 1. Show

that

d 

dx

is a linear map R[x]n  二 R[x]n-1 .

(b) Let n > 3 and consider the map T : R[x]n  二 R[x]n  given by

T : p(x) 1二 6p(x) + p/ (x) - x2p// (x).

You may assume T is linear. Determine the nullity of T.

2. We write Mn (R) for the set of n x n matrices with real entries.

(a) Let A e Mn (R). Define

SA  : Mn (R) 二 Mn (R)

by SA (B) = AB for all B e Mn (R). Show that SA  is a linear map.

(b)  Compute the rank and nullity of SA  when

A = ╱6(3)   2(1)← .

3.   (a) Determine if the following set is a basis of R4 .

,((．╱ìì  、11 ╱ìì21-2、11 ╱ìì、11 ╱ìì30-3、11、((．.

((．）-2/ ） 1 / ）1/ ）-3/ ((．

(b) For each a e R, determine those values of X e R for which the determinant of

the following matrix is 0.

 、1

ì(ì) a    a    a   X    a    a    a    a  1(1)

ì(ì) a    a   X    a    a    a    a    a  1(1)

ì(ì) a    a    a    a    a   X    a    a  1(1) .

ì(ì) a    a    a    a   X    a    a    a  1(1)

1/

4.   (a) Determine if the following matrix is invertible and, if it is, compute the inverse

(b)  Give the solution set to the following system of linear equations.

w + 4x + 3y + z = 0,

w + 5x + 4y + 2z = 0,

w - x + y - z = 0.

5. We write Mn (R) for the set of n x n matrices with real entries. For A e Mn (R), we define

UA  = {B e Mn (R) : AB = BA} C Mn (R)

and

VA  = {B e Mn (R) : AB = -BA} C Mn (R).

You may assume that UA  and VA  are vector subspaces of Mn (R).

(a) In the case

A =  ╱0(0)   0(0) ）0   0

0(1)、

0/ ,

compute the dimensions of UA , of VA , and of UA n VA .

(b) Now let A e Mn (R).  Suppose A has rank r for some r with 1 < r < n - 1. Show that UA   Mn (R).

SECTION B

Use a separate answer book for this Section.

6. Find the general solution to the system of first order differential equations

x˙1 (t) = 5x1 (t) + 2x2 (t) + x3 (t) ,

x˙2 (t) = -8x1 (t) - 3x2 (t) - 2x3 (t) ,

x˙3 (t) = 4x1 (t) + 2x2 (t) + 2x3 (t) .

7. Let V be the vector space R[x]2  of real polynomials of degree at most two and let c : V 1二 V be the linear operator

c (p(x)) = λx2p// (x) + xp/ (x) + p(x + 1)

with p(x) e R[x]2 , p/ (x) = dp(x)/dx, and λ e R.  Determine for which value of λ e R the linear operator c has an eigenvalue equal to 0 and in that case find the corresponding eigenfunction.

8.   (a)  Show that

(z, w) = 3z1 1 + iz2 1 - iz1 2 + 4z2 2

defines an inner product on V = C2  and, using this inner product, find the

norm of the vector

u = ╱ ←i(i) .

(b) Let V be the vector space R[x]2 of real polynomials of degree at most two, with

inner product

(p, q) = 10 1 p(x)q(x) dx .

Using this inner product find a basis for the orthogonal complement U一 of the vector subspace U = span{x} C V .

9.   (a) Let A, B be n x n matrices such that AB = BA.  If v is an eigenvector of A and if Bv  0 show that Bv is also an eigenvector for A.

(b) Let C be an n x n anti-hermitian matrix. Show that its eigenvalues are imag-

inary numbers, i.e. λ = ix with x e R.

10. Let

G = Z2  x Z3

be the direct product of the two cyclic groups Z2  and Z3 .  Firstly write down the group table for G and secondly find an element of G with order 6.