Marks will be deducted in every question for incomplete working,  incorrect use of mathematical notation and insufficient justification of steps.  Please start working on this assignment as early as possible and aim to finish it ahead of the deadline.  Even though you have eleven days to work on these problems, they might turn out to be longer and more involved than initially expected.  Also, take into account that some time is required to scan and upload your solutions. The questions depend on lecture material up until March 30.

Expected level of rigour

● Some problems will be clearly marked as “computational” or “proof”.

● In “computational” questions the focus is on the computation or result and, while justifications need to be given, it is sufficient to show a sense of awareness of the underlying mathematical issues, refer to limit theorems etc. Example:  “An open square S is open since each of its points has a non-zero distance to the boundary” would be adequate for a “computational” question.

● In  “proof” questions you are expected to provide full and rigorous justifications, written in mathematically appropriate terms.  Example:  The statement above would not be adequate for a “proof question”. You would need to specify the distance to the boundary explicitly and show the existence of a neighbourhood that is fully contained in S .

● In either case it is usually not sufficient to only write mathematical formulas or symbols. Your answer should contain text that clearly explains what is going on. You are allowed (and encour- aged) to use results from lecture slides, problem sheets or earlier assignments but these need to be named or referenced appropriately.  Lack of logical coherence will lead to the deduction of marks even if the computation or proof idea is generally correct.

Late or missed assignments

● Late assignments will be accepted with a 25% reduction for each day late.

● Students unable to submit assignments due to illness or other extenuating circumstances may receive sympathetic treatment, provided that the circumstances are significant and supported by appropriate documentation.  Sympathetic treatment will normally mean excusing the stu- dent from submitting the assignment and adjusting the weights of the assessment components appropriately.

● Any medical certificates relating to the assignments should be given to the coordinator as soon as possible after the piece of assessment is due.

● If you are working on your assignment up to the last possible submission time, it is likely that you will not be keeping up with current topics, which can have bad effects on your overall performance. Early submission before the deadline is strongly encouraged.

Concerning plagiarism

● Please familiarise yourself with the University’s expectations on Academic Integrity.  Note, in particular:  You are expected to submit work that is original and solely your work, without assistance by any other person (collusion).

● Detected plagiarism or other forms of academic misconduct may lead to serious disciplinary consequences for students involved.

Question 1 - Lecture Summary (5 marks)

Write a summary of the lecture material for each of the weeks 4-5, using up to one A4 page per week.

Your summary can contain tables, diagrams and pictures. Try to design it so that it would be useful when explaining the material to another person and/or when preparing for the exam.  It must be hand-written on the template provided at the end of this assignment with at most one line of your summary text per one line on the template.  The point is not to give a complete account but rather to identify the most important aspects of the lecture material.

Question 2:  Proofs (10 marks)

(a)  Given a continuous function φ defined on a closed contour C, define

f(z) = 尸C ,    z o c - C.

Prove that  lim  f(z) = 0 and that f(z) is bounded in a neighbourhood of ÷ .

去4

(b) If f(z) and g(z) are holomorphic in D(z0 , R), prove that for all z o D(z0 , R)

4                                                                                                  4                                                                                                                          4

f(z) =       ai(z - z0 )i, g(z) =       bj(z - z0 )j  < (fg)(z) =       ck(z - z0 )k  for ck  =          aibj

i=0                                             j=0                                                         k=0                                               i+j =k

i.e. the Taylor series for fg in D(z0 , R) is the product of the Taylor series for f and g in D(z0 , R).

Question 3 - Computation (5 marks)

Evaluate

尸0 2π .

Question 4 - Visualisation (10 marks)

Use the interactive tool Complex Mapping  Viewer https://www.falstad.com/complexviewer/ to analyse the function

f(z) = z + z2 .

Note that the red grid, known as the domain grid, is sent to the blue distorted grid.

(a) Explain why the red and blue grids almost coincide close to z = 0.

(b) When the red grid moves around a small circle surrounding 0 o c, such as the unit circle in the picture, notice that the blue grid moves around 0 o c exactly once. Explain this behaviour.

(c) When the red grid moves around a large enough circle surrounding 0 o c, such as a radius 3 (or radius 300) circle, notice that the blue grid moves around 0 o c exactly twice. Explain this behaviour, and in particular why it differs from (b).