Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MAT 2143, Winter 2022

Fourth Assignment

1. Consider the map φ : z x z → z2  x z4  given by

φ(x, y) := (x mod 2, (x + 2y) mod 4).

(a) [2 points] Prove that φ is a group homomorphism.

(b) [3 points] Determine ker(φ).

Hint:  Try a case-by-case analysis:  given (x, y) e z x z, consider several cases based on the remainders of x and y modulo 2 and 4.

(c) [2 points] Determine im(φ).

 

2. [4 points] Let G be a finite group and let H and K be normal subgroups of G such that H n K = {e} and G = HK. prove that the map

ψ : G → G/H x G/K , ψ(g) := (gH, gK)

is an isomorphism of groups.