Instructions: Please, take into account the following instructions

(1) Prepare you report using the LATEX template provided on Canvas (You can use your own LATEX  style if you prefer).  You may use MS Word, LibreOffice Write or other similar word processing software, but it will be significantly more difficult and time consuming to write equations and the final result will, most likely, not be of the best possible quality.

(2) Compile your answers into a single PDF file (you will not be able to upload doc(x) or other files)

(3) Each team needs to upload a single PDF file

(4) The maximum length of your answers should be 10 A4 pages using the above template. Reallistically, you do not need to exceed 8 pages.  In order not to exceed the page limit use the LATEX template provided (a figure about the size of Figure 1, or even smaller, is perfectly legible).

(5) Submit your answers on Canvas before the above deadline. If you experience any excep- tional circustances, contact the advisor of studies and submit an EC request.

(6) Start by reading the assignment and having a kick-off meeting meeting to decide how you will work as a team, how the various tasks will be distributed, how you will share your code and how you will be able to contribute to the report.

Grading criteria: This coursework is a glimpse into a typical day of a control engineer at work. The idea is that you need to design a control system for a client and you need to prepare a technical report to convince them that your control system is well designed (it is stable, does not have offset, can reject disturabces,and so on).  In particular, you need to convince them that it will work well in practice.

This coursework counts towards 7.5% of your total marks. Each team member will receive an individual mark based on their contributions. The following grading criteria will be used:

(1) Technical correctness [50%]: Correct application of control theory, articulation of assump- tions, and that conditions of theorems are carefully checked; the main focus will be on the correctness of the procedure you will follow and less so on the the correctness of your results

(2) Discussion of results [25%]: avoid mathematical derivations with no discussion; likewise, if you decide to include simulation data  (such as plots), provide a discussion of your results.

(3) Quality of presentation [20%]:  clarity of presentation of your solutions, quality of type- setting of your equations and quality of illustrations

(4) Collaboration  [5%] quality of collaboration based on the evidence you will provide in your collaboration questionnaire  (e.g.,  use of appropriate technologies,  time and task management and reporting)

1.  System Description

1.1.  System.  Consider the system shown in Figure 1.

elastic spring

Figure  1.  System of a wooden ball on an inclined plane.   The ball can be attracted downwards by an electromagnet, which is controlled by voltage V .

A wooden ball of total mass m and radius r is placed on an inclined plane, which is at an angle φ with respect to the horizontal plane as shown in Figure 1.  The ball can roll on the inclined plane without sliding. The ball is connected to an elastic spring of stiffness k and a linear damper with viscous damping coefficient b.  Let x denote the distance of the centre of the ball from the wall. When x = d, the spring is at its natural length and no restoring force is applied. The ball is considered to be approximately isotropic.

At the centre of the ball there is a metal core of small radius which can be attracted by an electromagnet (which is nothing but an inductor). The centre of the electromagnet is positioned at x = δ > d. This inductor is connected in series with an Ohmic resistor of resistance R and a voltage V is applied to the circuit as shown in Figure 1. The nominal inductance of the inductor is L0; however, as the ball approaches at a distance y from the centre of the inductor, its inductance increases and is given by

L = L0 + L1 exp( −αy),                                                       (1)

where L1  and α are given positive constants.

The electromagnet can exercise an attractive force to the metal core of the ball, whose magni-

tude is given by

Fmag  = c I2

(2)

where c is a positive constant, I is the current that runs through the circuit and y is the distance between the centre of the wooden ball and the centre of the electromagnet.

Lastly, the position of the ball, x, on the inclined plane can be measured with a sensor that can be modelled as a first-order system with time constant τm .

1.2.  System parameters. It is given that m = 454 g, g = 9.81m/s2 , d = 42 cm, δ = 65 cm,

r = 12.3 cm, R = 60 Ω, L0  = 122 mH, L1  = 25 mH, α = 1.2 m_1 , c = 6815  , k = 1885N/m, b = 10.4Ns/m, φ = 41◦ , and τm = 30 ms.