Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

INDUSTRIAL ORGANIZATION AND FIRM STRATEGY

ECON - 3742, section A01-Winter 2022

Assignment #1

1    True/False questions (20 points)

1. (4 points) In a principal-agent relationship between owner and manager with hidden e§ort, the owner can design a wage scheme that insures the optimal Örst best e§ort by the manager regardless of the risk aversion of the manager. Justify your answer.

Ans/ False statement according to lesson 2.1 in the textbook.  This is only true when the manager is risk neutral.

2.   (4 points) Consider a monopoly that faces an inverse demand curve and has a linear cost function. The monopoly would be indi§erent when maximizing proÖts between either choosing quantities or choosing prices.

Ans/ True.  The FOCs would yield the same price and quantity regardless of choosing quantities or prices.

3.   (4 points) A multiproduct Örm that as monopoly power over several products sets lower prices than separate Örms  (each controlling a single product) when the products are substitutes or when there are economies of scope.

Ans/ False.  According to lesson 2.4 in the textbook.  This would be true if the statement would have said "products are complements" not subsitutes.

4.  (4 points) In the dominant Örm model (‡ la Hotelling) an increase in the marginal cost of the dominant Örm (with constant marginal costs) implies that proÖts necessarily decrease.

Ans/ False.  This is shown in page 31 section with Constant marginal costs the proÖts are independent of the marginal cost.

5.  (4 points) Suppose that an industry has 10 Örms where the market shares are ordered from the most to the least dominant Örm {0:5; 0:37; 0:05; 0:03; 0:02; 0:01; 0:01; 0:005; 0:004; 0:001}. The HerÖndahl index is IH  = 0:3.

Ans/ False.  We can calculate the HerÖndahl index to be

IH      =   0:52 + 0:372 + 0:052 + 0:032 + 0:022

+2 * 0:012 + 0:0052 + 0:0042 + 0:0012

=   0:390 94

Problems (80 points)

6.  (20 points) Consider a monopolist facing a linear inverse demand curve p (q) = a - bq, where q denotes units of output and b > 0 represents the slope of the inverse demand curve.  This Örm faces cost function C (q) = F + cq, where F denotes its Öxed costs (can contain sunk costs), c represents the monopolistís (constant) marginal cost of production and assume a > c > 0.

a. (4 points) Find the monopolistís proÖt maximizing output and label it qm . Verify if it is positive. Ans/ The monopolist chooses the output level q that solves

max π (q) = (a - bq)q - (F + cq)                                                            (1)

q≥0

where  (a - bq)q  denotes total revenue  (price times the number of units sold) while  F + cq  represents the monopolistís total cost.  FOC (deriving and equating to zero) is a su¢  cient condition for a maximum if the second derivative of the objective function is negative, i.e. = -2bq < 0 for q > 0 since  b > 0.  Hence FOC is su¢  cient.  Taking the derivative with respect to q in equation (1) yields = a - 2bq - c = 0 which simpliÖes to  a - 2bq = c.   The  left side represents the monopolistís marginal revenue from increasing its production by one unit, MR = a - 2bq, while the right side denotes its marginal costs, MC = c.  Solving for q yields a proÖt maximizing output of.qm  = a 2(一)b(一)c which is positive since a > c .

b. (3 points) What is the market price pm  and the proÖt level π m ? Is the proÖt level always positive? If not what is the condition for the proÖt level to be positive? Explain

Ans/ Replacing qm  in the inverse demand equation yields p (qm ) = pm  = .  With this we can compute the proÖt level π (qm ) = π m   = - cqm  - F  =  (a4(一) F .   ProÖts  are not always positive since it depends on the level of F. ProÖts are positive π m  > 0 if and only if F < (a4(一)

c. (2 points) Find the absolute value of the price elasticity of demand η = - p evaluated at qm  as deÖned in the textbook.  Is the elasticity greater than one?  Find the markup on price or Lerner index, deÖned as L (q) = p(qq(C)/ (q), at qm .  What happens with L when η increases?  Is it true that "A proÖt maximizing monopolist decreases its markup as demand becomes more price elastic? Explain.

Ans/ From the inversed demand function we can Önd the demand function q = a b(一)p which implies q> (p) =

- .  Therefore η = - 1 = a(a)c(c)   where p (q) = a - bq was replaced in.  Note that η > 1 since a > c > 0. The markup or Lerner index is L (qm ) = p(qq(C)/ (q) = 1 - a bq(c)m = a(a)c(c)  = . Hence clearly as η increases L would decrease.  This shows that the statement is true.

d.  (3 points) Find the socially optimal output level q*  which is the value that maximizes consumer surplus (price equals marginal cost). Is it larger or smaller than the proÖt maximizing output, qm , that you found in part (a)? Is it true that q* = 2qm ? Explain.

Ans/ At the social optimum, we have that the inverse demand crosses the marginal cost function, p(q) = C> (q)  since  this point maximizes  total welfare,  or  eliminates  deadweight  loss.   In  this  context,  it means a - bq = c.  Solving for q  yields a socially optimal output q*  = a b(一)c .  Note that q*  > qm   is equivalent to having a b(一)c > a 2(一)b(一)c or a2b(一)c > 0 which holds since a > c.  Note that 2qm  = 2 a 2(一)b(一)c = q*  which means that the optimal level is twice that of the monopoly level of production.

e. (3 points) Illustrate qm  and q*  in a graph where price is the vertical axis and q is the horizontal axis. Be sure to include the MR and MC curves as well as the inverse demand curve.

Ans/

f. (2 points) Let us say that a regulator wants to induce the monopolist to produce q*  instead of qm . Would the monopolist have positive proÖts at q* ?  Suppose F represents only sunk costs, would the monopolist produce q*  in this case? Explain.

Ans/ When the monopolist produces q* units of output, its proÖts are

π *     =    (a - bq  )q* * - (F + cq* )

=    (a - c) q* - b (q* )2 - F

= - b 2 - F = -F

Hence π * = -F . If F are only sunk costs then the monopolist would produce q*  and would obtain zero proÖt since sunk costs are initial costs that are non recoverable and would not be part of proÖts every period.

g.  (3 points) Suppose F are only sunk costs and that the regulator of the monopoly establishes the price the monopoly takes as given and then decides to produce the level that maximizes proÖts. What is the price level the regulator would need to establish for the monopoly to be induced to produce the social optimum level q* ? How would your conclusion change if F are Öxed costs? Explain.

Ans/  To produce  q*  the price would have to  be  c  (marginal cost pricing) since at that point  q*  would be consistent with zero proÖts given that F is assumed to be only sunk costs and not Öxed costs per period.  If F are only Öxed costs then the regulator would not be able to induce the monopolist to produce q > 0 much less to produce q* .

7.   (15 points) Consider the same setup as in the previous exercise but now cost function is convex i.e. C (q) = cq2 .

a.  (3 points) Find qco(m)nvex , pconvex(m)  and π convex(m)  which denote the output produced, price and proÖts for the monopolist with convex cost function. Explain.

Ans/ The monopolist chooses the output level q that solves

max π (q) = (a - bq)q - cq2                                                                                          (2)

q≥0

FOC (deriving and equating to zero) is a su¢  cient condition for a maximum if the second derivative of this function is negative, i.e. = -2 (b + c)q < 0 for q > 0 since  b + c > 0 .  Hence FOC is su¢  cient. Di§erentiating with respect to  q  in  equation  and equating it to zero  we  obtain = a - 2 (b + c) q  = 0, which we  can rearrange  to get  qco(m)nvex   = .   Replacing in the inverse  demand equation yields pm   = a - bqm   =  a - b or equivalently pconvex(m)   = .   Finally replacing  in  the proÖt function  yields π convex(m)  = pm qm - c (qm )2  = .

b. (2 points) Represent what you Önd in a graph like that of 1.d).

Ans/

c.  (5 point) Under what conditions does the monopolist with convex cost function produce less than the monopolist with a linear cost function as in 1)? Justify your answer.

Ans/ We can compare the two levels qlin(m)ear  > qco(m)nvex  or equivalently a2b(一)c > which holds if and only if a > b + c holds.

d.  (5 points) Find the socially optimal output level qc(*)onvex .  Is it larger or smaller than the social optimal output when the monopolist faces a linear cost function? Explain.

Ans/ Equating price to marginal cost yields a - bq = 2cq which yields qc(*)onvex  = .  We can compare the two levels  qli(*)near   > qc(*)onvex   or equivalently a b(一)c > which holds if and only if  a > + c.   Under this condition the social optimal output level is greater in the linear cost case than in the convex cost case.

8. (20 points) Two Örms competing ‡ la Hotelling with Öxed locations and symmetric constant marginal costs.  Suppose there is a line between 0 and 1 in which two Örms locate themselves, Örm 0 being at point x0  = 0 and Örm 1 being at point x1  = 1.  Each Örm has a linear cost function C (qi ) = cqi  where qi  represents output level of Örm/product i = 0; 1, parameter is such that c > 0.  Consumers are located between 0 and 1 and are distributed uniformly according the the graph below.

0

*

x

1        x

Consumers value the product Örm i = 0; 1 in ri  > 0 and incur a disutility from travelling to the location of the product which is assume to be a linear function of distance. The mass of consumers is normalized to 1 since that is the area in the graph. Indirect utility function for consumers is then V (ri ; pi ; x) = ri - T Ixi - xI - pi where pi  denotes the price of product/Örm i = 0; 1 and x is the consumer (point) that is located in the line between 0 and 1.  Each consumer wants at most one unit of one of the products, the one that is closest in distance.  Note that the term Ixi - xI represents the distance between consumer x and the location xi of Örm i = 0; 1.  For example the consumer located at x = 0:5 has a distance to either Örm of 0.5 since Ix0 - xI = I-0:5I = 0:5 and Ix1 - xI = I1 - 0:5I = 0:5.  Assume T > Ir1 - r0 I > 0 where T is the location di§erentiation of the products among the Örms.

The demand for each Örm depends on the existence of an "indi§erent" consumer denoted x*  who is the one point between 0 and 1 that achieves the same utility regardless of the product purchased. This means that this indi§erent x*  consumer satisÖes

r0 - T Ix0 - x* I - p0  = r1 - T Ix1 - x* I - p1

or replacing x0  = 0 and x1  = 1 the indi§erent consumer is determined to be after rearranging

x* = r0 - r1 + p1 - p0 + 1

Hence the demand for Örm 0 is the mass of consumers to the left of x*  (base of x*  times the height of one): Q0 (p0 ; p1 ) = r0 r12r(+)p1 p0 + while the demand for Örm 1 is the mass of consumers to the right of x*  (base of 1 - x*  times the height of one): Q1 (p0 ; p1 ) = - r0 r12r(+)p1 p0 . Note that if r0  = r1  and p0  = p1  then the demand for each Örm is 0:5 which is equal to x*  as represented in the graph above. For di§erent values of r0 r1  and/or p0 p1  the indi§erent consumer is not located at 0:5 but will be a point between 0 and 1.  a.  (5 points) Find the best response price pi (pj ) Örm i = 0; 1 for any pj  that Örm j = 0; 1 chooses (Hint: maximize proÖts choosing pi  for Örm i = 0; 1 taking as given pj ).

Ans/ The maximization problem for Örm 0 is

max π0  = (p0  - c) Q0 (p0 ; p1 )

p0

FOC is a su¢  cient condition since = - < 0 given that T > 0. The FOC is

@π 0 @Q0 (p0 ; p1 )

1

T+c (T+c)/2

p0 (p1)

p1 (p0 )

(T+c)/2 T+c                               p0

or equivalently once the demand function and it derivative are replaced

r0 - r1 + p1 - p0 1 p0 - c

2T                 2        2T

which yields the best response function for Örm 0

p0 (p1 ) =                                  :

By symmetry the best response function for Örm 1 is

p1 (p0 ) =                                  :

b. (5 points) Graph the two best response functions in a space where the vertical axis is p1 and the horizontal axis is p0 . Find the Nash equilibrium (p0(*); p 1(*)). Are the equilibrium prices above marginal cost when r1  = r0 ? Are they increasing in T? If so, what does that mean? Explain.

Ans/ The graph illustrates the two best response functions for r1  = r0  to simplify matters. Solving the two best response functions yields

p0(*)  = + T + c;    p 1(*)  = + T + c

When r1  = r0   equilibrium prices are above marginal cost because T > 0.  Equilibrium prices are increasing in T  which means that when consumers have a higher disutility due to transportation costs the prices are increased.

c.  (5 points) What happens to the equilibrium prices if r1  increases while r0  remains constant?  Interpret what you Önd.

Ans/  When  r1   increases  then p 1(*)   increases  while p0(*)   decreases.   This  means  that when Örm  1  is  able  to di§erentiate its product so that consumers value it more then it can charge a higher price, while Örm 0 would need to charge a lower price.

d. (5 points) Find the proÖts at equilibrium. Are they positive? What happens to proÖts when T increases? Interpret what you Önd.

Ans/ Note that p 1(*)  - p0(*)  = 2(r13r0 ) and p0(*)  - p 1(*)  = 2(r03r1 ) .  Plugging this and the equilibrium prices in the proÖt functions yields

π 0(*)      =    (p0(*) - c) Q0 (p0(*); p1(*))

= + T +

(r0 - r1 + 3T)2

=

18T

π 1(*)      =    (p1(*) - c) Q1 (p0(*); p 1(*)) =

which clearly show that proÖts are positive since the numerator is positive given that it is a squared term and the denominator is positive since T > 0. Finally, taking the derivative of π 0(*)  with respect to T yields

@π 0(*) 6 (r0 - r1 + 3T) (r0 - r1 + 3T)2

@T                 18T                        18T2

since 3T > r0  - r1  given that T > Ir0 - r1 I .  This can be interpreted in the following way.  The more the products are di§erentiated in location the higher the proÖts the Örms can achieve.

9.  (10 points) Each of two Örms has one job opening.  Suppose that (for reasons not discussed here but relating to the value of Ölling each opening) the Örms o§er di§erent wages: Örm i = 1; 2 o§ers the wage wi . Imagine two workers, each of whom can apply to only one Örm. The workers simultaneously decide whether to apply to Örm 1 or to Örm 2. If only one worker applies to a given Örm, that worker gets the job; if both workers apply to one Örm, the Örm hires one worker at random (probability 0.5 for hiring worker 1 and probability 0.5 of hiring worker 2) and the other worker is unemployed (which has a payo§ of zero). Suppose workers are risk neutral i.e. u (w) = w .

a. (2 points) Construct the normal form game. (Hint: payo§s in the normal form game are expected utility payo§s)

Ans/ Normal form game is as follows

Worker 2

Worker 1    A1      0:5w1 ; 0:5w1            w1 ; w2

A2            w2 ; w1             0:5w2 ; 0:5w2

where Ai  denotes Apply to Örm i = 1; 2.

b.   (2 point) Solve for the pure strategy set of Nash equilibria of the workersí normal-form game when 0:5w1  < w2 < 2w1 . At a pure strategy Nash equilibrium would a worker secure a job? Explain

Ans/ The best responses for each worker are indicated by bold letters

Worker 2

A1                            A2

Worker 1    A1      0:5w1 ; 0:5w1            w1 ; w2

A2            w2 ; w1            0:5w2 ; 0:5w2

The pure strategy Nash equilibria is {A2 , A1 } and {A1 , A2 } which is a coordination game since each worker should apply  optimally to  the Örm that the  other worker would not apply to.  In  equilibrium  each worker would secure a job since they would coordinate not to apply to the same Örm.

c.  (3 points) Find the mixed strategy Nash equilibrium (p1(*); p2(*)) and verify that pi(*)   e  (0; 1) for i =  1; 2. (Hint: Önd the expected value for worker i = 1; 2 for each A1  and A2  assuming the worker j chooses A1  with probability pi  and A2  with probability 1 - pi  and then equate these two expected values to Önd pi(*))

Ans/ The expected payo§ for worker 1 of choosing A1  is

p2 w2 + (1 - p2 ) 0:5w2  = 0:5w2 (p2 + 1)

while that of choosing A2  is

p2 0:5w1 + (1 - p2 ) w1  = w1 (1 - 0:5p2 )

Equalizing these two payo§s  (since we are Önding the p2   that makes worker 1 indi§erent between the two strategies) yields

w2 (p2 + 1) = 2w1 (1 - 0:5p2 )

which rearranged yields

p2(*)  = e (0; 1)

Note that p2(*)  =  w2(2w)1w1(w)2 > 0 since  2w1  > w2  while p2(*)  =  w2(2w)1w1(w)2 < 1 since w1 < 2w2 . By symmetry then p 1(*) = p2(*) .

d.  (3 point) Solve for the set of Nash equilibria of the workersínormal-form game when 0:5w1  > w2 .  At equilibrium would a worker secure a job? Explain

Ans/ The best responses for each worker are indicated by bold letters

Worker 2

Worker 1    A1      0:5w1 ; 0:5w1            w1 ; w2

A2              w2 ; w1              0:5w2 ; 0:5w2

where A1  is a dominant strategy for each worker and therefore the unique pure strategy Nash equilibrium is {A1 , A1 } . At equilibrium only one worker would get the job since both apply to the same job.

10. (15 points) Consider a N consumers that have linear-quadratic utility function ui (q0 ; q1 ; q2 ) = aq1 + aq2 - bq1(2) + 2dq1 q2 + bq2(2)+ q0

where q0  is the Hicksian composite commodity with price normalized to one.  Assume b > IdI > 0 which implies that products are di§erentiated. Consumer i has a budget constraint yi  = p1 q1 + p2 q2 + q0  where yi is the real income of i = 1; ::; N .

a.  (3 points) From the budget constrain isolate q0  as a function of the other variables and then plug it in the utility function. Verify that the Hessian matrix associated with this utility function is negative deÖnite (Hint: Önd second order partial derivatives with respect to q1 and q2 and verify the conditions for the Hessian to be negative deÖnite)

Ans/ Plugging in q0  in the utility function yields

ui (q1 ; q2 ) = (a - p1 ) q1 + (a - p2 ) q2 - bq1(2) + 2dq1 q2 + bq2(2)+ yi

The Hessian matrix is

H = u(u)1(1)

u12(i)

u22(i)

= d(-)b

d


H is negative deÖnite since u11(i)  = -b < 0 and u11(i)u22(i) - u21(i)u12(i) = b2 - d2 > 0 since b > IdI .

b. (3 points) Find the Örst order conditions of utility maximization and the demand functions (q0 (p1 ; p2 ) ; q1 (p1 ; p2 ) ; q2 (p1 ; p2 ) for consumer i.

Ans/ First order conditions are found by taking derivatives of the utility function with respect to q1  and q2 are

a - p1  = bq1 + dq2                                                                                                     (3)

a - p2  = dq1 + bq2                                                                                                     (4)