1.  Consider some preferences represented by the utility function u(x1 , x2 ) = ln x1+2 lnx2 .

(a)  Find an expression of x2  as a function of x1  that represents the indifference

curve that passes through the bundle (4, 1). We first calculate the utility at (4, 1), which is ln 4 + 2 ln 1.  Remember that ln 1 = 0, which implies that u(4, 1) = ln 4. We then establish the equality ln x1+ 2 lnx2 = ln 4 and rearrange the equation as following:

ln x1+ln(x2 )2 = ln 4

ln x1 (x2 )2 = ln 4

x1 (x2 )2 = 4

(x2 )2 =

x2 =  

(b) Argue whether the utility function (x1 , x2 ) = x1 (x2 )2 represents the same pref- erences. What about the function (x1 , x2 ) = px1x2?

Both functions represent the same preferences. For , note that ln x1+ 2 lnx2 = ln(x1 (x2 )2 ).  If we apply the exponential function to u(x1 , x2 ), we find exactly  .  Since the exponential function is monotonically increasing, both functions represent the same preferences. Finally, we can take the square root of  and add a constant, which is also a monotonically increasing transformation.

2.  Show that when preferences are convex, the utility function is quasi-concave (Hint: start from the definition of a utility function - x ≿ y ⇔ x ≥ y)

From the definition of utility functions, we have:

Consider first the case in which x ̸= y and x ∼ y. From convexity of preferences, αx + (1− α)y ≿x

and

αx + (1− α)y ≿y

From these two relations, we conclude that:

u(αx + (1 − α)y) ≥ min{u(x), u(y)}

For the case in which x ≁ y, we have either y ≿ x or x ≿y. Without loss of generality, let x ≿y. In this case, we know that:

αx + (1− α)y ≿y

and therefore:

u(αx + (1 − α)y) ≥ min{u(x), u(y)}

3.  Consider a function f (x, y) : ℜ → ℜ + defined on the set of pairs of non-negative real numbers. Verify that f (x, y) = xy is quasiconcave but not concave (Hint: try to find a numerical example in which concavity fails).

First we will show that f (x, y) = xy is quasiconcave. We claim that for any (x, y) ∈ ℜ , f  t x0 , y0  + (1 − t) x1 , y1  ≥ min £x0y0 , x1y1 ¤ . Note that:

f  t  x0 , y0  + ( 1 − t)  x1 , y1      =   £tx0 + ( 1 − t) x1 ¤£ty0 + ( 1 − t) y1 ¤

=   t2x0y0 + t(1 − t) x0y1 + x1y0  + (1 − t)2 x1y1          =   t2x0y0 + t(1 − t) ³x1y1 + x0y0 ´ + (1 − t)2 x1y1

Assume that x0y0 ≥ a and x1y1 ≥ a. Then,

t2x0y0 + t(1 − t) ³x1y1 + x0y0 ´ + (1 − t)2 x1y1 ≥

a ht2 + t(1 − t) ³ + ´ + (1 − t)2 i

Now consider the expression  x0 − x1  2  and note that  x0 − x1  2 > 0 for x0 ̸= x1 .  Be-

cause x0x1 > 0, we can show that:

x0 − x1  2 =  x0     −2 2  x0x1  + x1  2 > 0

and then  x0  2 + x1  2 > 2  x0x1

so that  > 2

Substituting in (1)

a ht2 + t(1 − t) ³ + ´ + (1 − t)2 i >

a £t2 + t(1 − t) (2) + (1 − t)2 ¤ = a[t + (1 − t)]2 = a, which implies quasiconcavity.

Now we have to show that the function is not concave. Just pick the values (0, 0) and (2, 2) to verify that they violate the necessary condition of concavity. For (0, 0) we have f (0, 0) = 0, while f (2, 2) = 4. Taking an equal-weight convex combination of these two points we find: f ((0 + 2)/2, (0 + 2)/2) = f (1, 1) = 1.  But 0.5f (0, 0) + 0.5f (2, 2) = 2 > 1, violating the necessary condition for concavity.

4. Verify graphically if the following functions satisfy concavity and quasiconcavity:

(a)

x

This function is not concave, but it satisfies quasiconcavity. To see this, note

that f(B) = min{f(A),  f(B)}.   Moreover,  f(A) > min{f(A),  f(B)} and f(B) ≥ min{f(A), f(B)}.  As a consequence, f(αA + (1 − α)B ≥ αmin{f(A), f(B)} + (1 − α) min{f(A), f(B)}, which implies f(αA + (1 − α)B) ≥ min{f(A), f(B)}.  We con- clude that the function is quasiconcave.  It is not concave, since we can find