1.  Consider an economy with two goods and a consumer whose preferences can be represented as:

(x1 ,x2 ) ≿ (y1 ,y2 ) if  and  only  if  x1  ≥ y1 − 1

Check whether these preference relations are rational (by separately examining whether they are complete and transitive) and monotone.

First of all, let us verify completeness.  For this property to hold, we need that, for any pair of bundles (x1 ,x2 ) and (y1 ,y2 ) either (x1 ,x2 ) ≿ (y1 ,y2 ) or (y1 ,y2 ) ≿ (x1 ,x2 ) or both. Since this preference relation only depends on the first component of every bundle, we have that, for every pair of bundles (x1 ,x2 ) and (y1 ,y2 ) either:

❼ x1  ≥ y1 − 1, which implies that (x1 ,x2 ) ≿ (y1 ,y2 ); or

❼ x1  < y1 − 1.

If we rearrange this inequality, we find y1  > x1 + 1.  But note that x1 + 1 > x1  − 1, which implies that y1  > x1 − 1 and therefore (y1 ,y2 ) ≿ (x1 ,x2 ).

Now let us verify transitivity. We need to show that, for any three bundles (x1 ,x2 ), (y1 ,y2 ) and (z1 ,z2 ) such that (x1 ,x2 ) ≿ (y1 ,y2 ) and (y1 ,y2 ) ≿ (z1 ,z2 ), then (x1 ,x2 ) ≿ (z1 ,z2 ).  This property does not hold for this preference relation.  In order to show this result, notice that a bundle (x1 ,x2 ) is preferred to another bundle (y1 ,y2 ) if its first component, x1 , is larger than that of the other bundle, y1  by less than one unit (because x1   ≥ y1  − 1 is equivalent to 1 ≥ y1  − x1 ).  Consider the following three bundles (x1 ,x2 ) = (5, 4), (y1 ,y2 ) = (6, 1) and (z1 ,z2 ) = (7, 2).  We can verify that (x1 ,x2 ) ≿ (y1 ,y2 ) because 5 ≥ 6−1. Also, (y1 ,y2 ) ≿ (z1 ,z2 ) since 6 ≥ 7−1. However,

when comparing (x1 ,x2 ) with (z1 ,z2 ) we find 5 ≱ 7 − 1, violating transitivity.

Finally, let us verify monotonicity, which is satisfied for this preference relation.  In particular, increasing the amount of good 1 yields a new bundle (x1 + ϵ,x2 ) that is weakly preferred to the original bundle (x1 ,x2 ).  Similarly, increasing the amount of the second component produces a new bundle (x1 ,x2 +ϵ) which is weakly preferred to the original bundle (x1 ,x2 ). Recall that this individual compares bundles by evaluat- ing the first component alone.  Since in this case the amount of the first component is unaffected, then he is indifferent between bundle (x1 ,x2 ) and (x1 ,x2  + ϵ).  The preference relation satisfies monotonicity (but not strong monotonicity).

2.  Consider a preference relation described as (x1 ,x2 ) ≿ (y1 ,y2 ) if and only if min{3x1 + 2x2 , 2x1 +3x2 } ≥ min{3y1 +2y2 , 2y1 +3y2 }. Check whether these preference relations are rational.

To verify completeness, note that both of the elements in the “minimum” operator are real numbers, which implies that min{3x1  + 2x2 , 2x1  + 3x2 } exists and so does min{3y1  + 2y2 , 2y1  + 3y2 }.  Therefore, we can easily compare these two minimums, guaranteeing the completeness property of the preference relation.

To verify transitivity, we need to show that, for any three bundles (x1 ,x2 ), (y1 ,y2 ) and (z1 ,z2 ) such that (x1 ,x2 ) ≿ (y1 ,y2 ) and (y1 ,y2 ) ≿ (z1 ,z2 ), then (x1 ,x2 ) ≿ (z1 ,z2 ). First note that a = (x1 ,x2 ) ≿ (y1 ,y2 ) implies min{3x1 +2x2 , 2x1 +3x2 } ≥ min{3y1 + 2y2 , 2y1 + 3y2 } = b. Also, (y1 ,y2 ) ≿ (z1 ,z2 ) implies b = min{3y1 + 2y2 , 2y1 + 3y2 } ≥ min{3z1 + 2z2 , 2z1 + 3z2 } = c.  Combining both conditions we have that a ≥ b ≥ c, which implies that a ≥ c, so that (x1 ,x2 ) ≿ (z1 ,z2 ).

3.  Consider an individual with a rational preference relation. Show that if u(x) = u(y) implies x ≿ y and u(x) > u(y) implies x ≻ y then this utility function represents this individual’s preference relation.

From the definition of a utility function, we must show that x ≿ y implies u(x) ≥ u(y). Suppose that x ≿ y .  If it is also the case that y ≿ x, the consumer is indifferent between x and y, which implies that u(x) = u(y). If, instead, x ⪰̸ y then the consumer strictly prefers x to y, which implies that u(x) > u(y). Thus, we have shown that if x ≿ y then u(x) > u(y), for all x,y ∈ X .

Suppose now that u(x) ≥ u(y). This implies that either u(x) > u(y) or u(x) = u(y). In the first case, this implies that x ≻ y .  In the second case, it implies that x ∼ y .