Examinable Material and Expectations:

1.  The mid-semester exam will cover material from Weeks 1-6, corresponding to Romer, Chs. 1-6 Anything covered in class, in the corresponding tutorials, or on the first problem set is examinable.

2. You will be provided with relevant formulas such  as production functions to be used in answering a question (see questions below to see examples of what sort of material will be provided and what you might be assumed to know).

3. You will be expected to understand the “economics” behind any equations provided.

4. In answering questions, be precise, showing all of the steps, and indicate if you are making any assumptions along the way.

Practice Mid-semester Exam Questions and Answers:

1. In the Solow-Swan model,  steady-state consumption is c*   =  f (k* ) - (n + g + δ)k* .   Let n = 0.05, g = 0.1, and δ = 0.1.

(a) In addition to the Inada conditions, what is the condition in terms of the sum of n, g , and δ for a unique steady state with positive k*  to exist? What is the numerical value of  n + g + δ for this economy?

It is necessary for n + g + δ > 0 for there to  be  a steady-state with positive k* .  This is because  steady state  is  determined  by the  crossing  of the  actual investment line  (which takes  on positive values for k > 0)  and the  break-even investment line,  which has slope n + g + δ.  These will only cross for positive k if the slope  of the  break-even investment line  is positive  (the  lines  also  cross  at k = 0,  but  then k  would  not  be positive).   The value of n + g + δ for this economy is 0.25.

(b)  Solve for the  “Golden Rule” capital per unit of effective labour, kG(*)R , that maximizes consumption if f (k) = kα , α = 0.5, n = 0.05, g = 0.1, and δ = 0.1.

  =  f/ (k* ) - (n + g + δ)  = 0  at  the  maximum.    Given  Cobb-Douglas,  this  means kG(*)R = (α/(n + g + δ))1/(1-α).  Given parameter values, kG(*)R = (0.5/0.25)1/〇.5 = 22 = 4 .

2. In the Ramsey model, the Euler equation describes the optimal growth path of consumption per person as  =  .

(a) Explain in economic terms why r(t) > ρ leads to  > 0?

If the  real interest rate  is  higher than  the  discount rate,  then  households  are  relatively patient  and  will  save  today  to  increase  consumption  tomorrow.    Thus,  they  choose  a path of consumption that has them increasing consumption over time until they reach a steady-state in which c˙ = 0 .

(b) Why does the particular growth rate of consumption depend on θ (recall 1/θ is the in- tertemporal rate of substitution)?

If the  intertemporal  rate  of substitution  is  high  (i.e.,  1/θ  is  high),  households  will  be more responsive in their savings  to  a  difference  between the real interest rate  and their discount rate.   This  is  because  they  are  more  willing to  substitute  between  consumption at different points of time to obtain the same utility.  So, if r(t) > ρ, they will save even more today in order to have faster growth of consumption towards the steady state.

(c) Why does consumption immediately jump up if households suddenly become less pa- tient (i.e., ρ t)? Draw the phase diagram and transition path of the economy to the new steady state.

If households  become less patient, it will shift the c˙ = 0 line to  left given that r* t and, therefore, the marginal product of capital needs to  be higher (i.e., k*  needs to  be lower). In words, households immediately consume more because of their lack of patience.  How-

ever,  consumption growth will be negative  on the saddle path  because    =  < 0

initially when ρ t and capital does not immediately adjust.  Households must make their consumption jump up  exactly to  the saddle path in order to have  a future path for con- sumption that satisfies their intertemporal budget constraint.

3. In the Romer model, the first-order conditions for the profit-maximizing firms imply (amongst

l   

other things) that L(i) = ┌ ! l _o   and p(i) =w t). Also, the equilibrium output (per capita)  growth is max _ B  - (1 - φ)ρ, 0、.

(a) In words, provide an economic interpretation for the decision by output good firms about how much labour to employ in producing output (i.e., L(i)).

The first-order condition implies  a  downward-sloping  demand curve for firms in hiring labour to produce output.  In particular, it is easy to see that there is an inverse relation- ship between quantity demanded and the price of the input.  Firms will hire this particular

input for the right price because all other inputs are imperfect substitutes.  The first-order condition ensures firms are minimizing costs and, therefore, maximizing profits.

(b)  Given φ determines the substitutability among labour inputs in the Ethier production function, with higher φ corresponding to more substitutability, what is the economic

l   

interpretation of the exponent φ  in the expression L(i) =  ┌ ! l _o   and what does it

imply about the price, p(i), an R&D firm can charge for use of its labour services L(i) relative to its marginal costs?

The exponent corresponds to the elasticity of demand for labour services in the input mar- ket.   The  higher the  elasticity  of demand,  the  less pricing power the  R&D firm  selling labour services has.  This corresponds to a higher elasticity of substitution, thus meaning firms  can look for other labour input services  as near substitutes if the price  of a given labour service is too high.

(c) Why is there no endogenous growth if the discount rate ρ > B ?  (Hint: What does the discount rate ρ imply about present value discounting?)

If the  discount  rate  is  higher,  then  the  real  interest  rate  on  the  balanced  growth path will  be  higher.    This  will  reduce  the  present  value  of future  profits  and  could  make  it unprofitable for R&D firms  to produce  new  ideas.   If this  is  the  case,  there  will  be  no endogenous growth.

4. In the RBC model with 100% depreciation and no government, the equilibrium saving rate is sˆ = αen-ρ , n < ρ, and labour supply per person is eˆ =  , where α is the capital share in the Cobb-Douglas production function, y = kα , n is the population growth rate, ρ is the discount rate, and b is the weight on (log) leisure in the instantaneous utility function.

(a)  Show that equilibrium labour supply, eˆ, would decrease if the capital share increased (i.e., α t). Explain why.

The  equilibrium  labour supply  is  equivalent  to  eˆ =  .   Then,  because n < ρ , en-p  < 1  and  an  increase  in α would  necessarily  cause  the  term    to  increase.

This  would mechanically  cause  a  reduction  in eˆ.   The  intuition  is  that  capital is  more productive, meaning we can work less to produce the same output.

(b)  Describe in words how the equilibrium can be solved for in this case of the RBC model. (Hints: Decentralized equilibrium or social planner? What choice variables do you need to solve for that determine the remaining variables?  What equilibrium conditions do you need to solve for these variables? What do you do to the equilibrium conditions and what do you substitute in for when solving?  Do you need to posit a solution for any variables in order to solve?)

Equilibrium can be solved for by finding the decentralized equilibrium or solving the social planner’s problem  that  maximizes  household  utility.   For the  decentralized  equilibrium, it is necessary to first solve for equilibrium in factor markets  that relate  the  real inter- est  rate  to  intensive  capital  and  the  wage  to  intensive  capital  and  technology.    Then,

solve for the household’s  decisions in terms  of consumption/savings  and labour/leisure. Household savings must equal investment and household labour supply must equal labour demand in general equilibrium.

Take the Euler equation, take logs, and substitute in for the real interest rate from capital market.  Posit a fixed saving rate s and solve for it as given above.

Take the first-order condition for labour l,  take logs,  and substitute in for the real wage rate from the labour market.   This leads to  a solution for labour supply that is  constant and given above.

5.  Consider the role of different frictions in explaining why monetary policy shocks have real effects.

(a) In the imperfect competition/menu cost model of nominal rigidity, the flex-price equi- librium relative price is Pi/P = Yγ -1 , where η > 1 is the elasticity of elasticity of demand for good i and 1/(γ - 1) is the elasticity of labour supply with γ > 1.  Noting that Yi = Y and Pi = P in equilibrium, derive an expression for yi in terms of pi - E[p], γ, and η .

Take  logs:  pi  - p = ln  + (γ - 1)y.    Then  note p = E[p] for  this  model given  no uncertainty.  Also, note that y = yi.  Substituting in gives pi - E[p] = ln  + (γ - 1)yi . Then solve for yi =  (pi - E[p]) - ln  .

(b)  Discuss why it is necessary to have both a nominal friction and a real rigidity for the nominal rigidity to explain why aggregate demand shocks can have sizeable effects of real GDP in the imperfect competition/menu cost model of nominal rigidity.

If there  is  only  a  nominal friction,  the   “menu  cost”  to prevent  a firm from  changing its price would have to  be unrealistically high.  However, with a real friction that makes firms reluctant to alter production so much, the  “menu cost” doesn’t need to be nearly as high.   This  is  analogous  to Daylight Savings,  which is  a purely nominal construct.  But the  real rigidity  of schedules  means  that there  are  big  effects  in  the  shift  of time  by  an hour.

(c) In the Lucas islands model, the Lucas supply curve is y =   (p - E[p]), where σz(2) > 0 is the variance of the good-specific taste shock and σm(2)  > 0 is the variance of the aggregate demand shock. Noting again that Yi = Y and Pi = P in equilibrium, use the Lucas supply curve to derive a comparable expression for yi in terms of pi - E[p], γ, and the signal-to-noise ratio λ 三 σ:(2)m(2) .

Substituting in yi = y and pi = p, we get yi = λ  (pi - E[p]) .

(d)  Discuss why the Lucas model suggests aggregate demand cannot have lasting effects on real GDP. Why is this an example of the Lucas critique?

The  Lucas  model implies  only  aggregate  demand shocks  can  affect  output.   Meanwhile, rational expectations means that such shocks  cannot be predictable.  Therefore,  a persis- tent change in aggregate  demand cannot have lasting effects  on output once the level of