1.    (CARA and CRRA utility functions)

Formulas for risk aversion measures can be found on page 4 of handout_1_1. Formulas for utility functions can be found on page 1 of handout_1_2.

a.    Show that a CARA utility function indeed has constant rate of absolute risk aversion.

b.    Find also its rate of relative risk aversion.  Is it increasing or decreasing?

c.    Show that a CRRA utility function indeed has constant relative rate of risk aversion.

d.    Find also its rate of absolute risk aversion.  Is it increasing or decreasing?

2.    (Prospect Theory)

This question asks you to think about the mug experiment discussed in class in terms of         actual utility functions.  Let two dimensions of choice be mugs and money, with mugs being   dimension 1 and money being dimension 2.  Denote outcomes in mugs and money by c1 and c2, respectively, and reference points in the two dimensions by r1 and r2, respectively.  The  person’s utility is given by

4 1  +  2  + (4 1  − 41) + ( 2  − 2)

where () = 0.5 for  ≥ 0, and () = 2 for  < 0.  You can think of the first part of the

utility function (4 1  +  2) as standard “consumption utility,” and the second part ((4 1  − 41) + ( 2  − 2)) as the reference-dependent “gain-loss utility.”

a.    Does this formulation capture loss aversion?  Does it capture diminishing sensitivity?

b.    Argue that the reference point of an owner ofthe mug is r1  = 1 and r2  = 0. Given this    reference point, solve for the “selling price”, the minimum price at which an owner is willing to part with her mug.

c.    What is the reference point of a non-owner of a mug?  Give both r1 and r2 .  Solve for the “buying price”, the maximum price at which a non-owner is willing to buy a mug.

d.    In a graph with mugs on the horizontal axis and money on the vertical axis, draw               indifference curves for owners and non-owners. Indicate how to read off the buying and selling prices from the graph.

e.    Some subjects (called the “choosers”) are initially not given a mug or any money.  Then, they are told that they can either have the mug or money, and are asked for the                 minimum amount of money which they would be willing to accept instead of the mug.    Solve for this “choosing price.”

f.     In an actual experiment, the buying, choosing, and selling prices were found to be $2.87, $3.12, and $7.12, respectively.  How well does the above model explain these findings?    To the extent that it cannot explain the findings, what do you think goes wrong?

g.    Suppose a non-owner receives a gift of $5 just before her buying price is elicited, and does not adjust her reference point in money to this new situation. What would her   buying price be?  Explain the intuition.

h.    Suppose an owner loses $5 just before her selling price is elicited, and does not adjust her reference point in money to this situation.  What would her selling price be in this case?

3.    (The Deposition Effect)

Following Tversky and Kahneman (1992), we define the Prospect Theory utility function for a certain Peter as (, ) = ( − ), where

 () = −(−)       < 0

With  =  = 0.88 and  = 2.25.

Suppose Peter’s reference point for money is 0 and he has no money. He has an opportunity to invest in an asset that pays him $100 with 50% chance but loses him $ otherwise.

a.    Find the highest L such that Peter will still invest in the asset.

b.    How would you describe Peter’s risk preference at this point? Which part of Prospect Theory is driving this preference?

Suppose Peter invested in the asset and earned $100, but his reference point is still 0.

c.    Calculate Peter’s absolute rate of risk aversion and relative rate of risk aversion at this point. Which part of Prospect Theory is driving this preference?

d.    Would he invest in the asset again if  is the same as in part a?

e.    How big the loss has to be for him to not invest in the asset again?

f.     Base on your answers above, explain why Prospect Theory does not necessarily implies the disposition effect.

4.    (Expectation as Reference Point as in Koszegi and Rabin 2006 QJE)

Matthew is considering getting a new notebook. His utility function is as follows:

(1, 2, 1, 2) = (41  − 41) + (2  − 2)

where () = 0.5 for  ≥ 0, and () = 2 for  < 0.  Good 1 is notebook and Good 2 is money. We normalize the initial quantities of both goods to zero.

a.    Suppose Matthew expects to buy the notebook for , so his reference point (1, 2) = (1, −). What is the highest price under which Matthew will still buy the notebook?

b.    Suppose Matthew does not expect to buy the notebook, so his reference point (1, 2) = (0,0). What is the highest price under which Matthew will buy the notebook?

c.    If  = 3, is Matthew better off expecting to buy the notebook or not?

To resolve the issue in c., we can modify the utility function so that it has a traditional “consumption” component:

(1, 2, 1, 2) = 41  + 2  + (41  − 41) + (2  − 2)

d.    Suppose Matthew expects to buy the notebook for , so his reference point (1, 2) = (1, −). What is the highest price under which Matthew will still buy the notebook?

e.    Suppose Matthew does not expect to buy the notebook, so his reference point (1, 2) = (0,0). What is the highest price under which Matthew will buy the notebook?

f.     If  = 3, is Matthew better off expecting to buy the notebook or not?

g.    More generally, how high can  be before Matthew is better off not to expect buying the notebook? Explain why the answer makes intuitive sense.

Now comes the complication: suppose there is a 30% chance the notebook will be out of

stock. To deal with this situation, we simply apply Expected Utility Theory to , so [(1, 2, 1, 2)] = 0.7(1, 2, 1, 2) + 0.3(0,0, 1, 2)

h.    If  = 3, is Matthew better off expecting to buy the notebook or not?

i.     More generally, how low does  has to be for Matthew to be better off expecting to buy the notebook?

Now comes the real complication: if Matthew has rational expectation, even if he intends to  buy the notebook, his reference point should not be certainly buying but rather 70% buying and 30% not buying. To deal with this situation, we compute reference-dependent utility      for the whole distribution of reference points. The expected utility is therefore:

[(1, 2, 1, 2)]

= 0.7[0.7(1, 2, 1, −) + 0.3(1, 2, 0,0)] + 0.3[0.7(0,0, 1, −) + 0.3(0,0,0,0)]

j.     How low does  has to be for Matthew to be better off expecting {70% buying 30% not buying} versus {not buying}?