Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Macroeconomic Analysis (Econ 7040)

Tutorial 1: The Solow Growth Model

1. Suppose that the basic Solow model represents the world well enough.  Assume that output (Yt) is a function of productivity (A) and the labor and capital inputs (Yt = AF(Kt,Nt)). In particular, we have

F(Kt,Nt) = KN ,

in which 0 < α < 1 and 0 < β < 1.

(a) Determine the returns to scale of the production technology F(Kt,Nt).

Answer:  Assume that a > 1.  A function G(X,Y) displays increasing returns to scale if G(aX,aY) > aG(X,Y),  while it displays  decreasing returns to scale if G(aX,aY) < aG(X,Y).  Therefore, we have that

F(aKt,aNt).

(aKt) (aNt)

a Ka N

a+ KN

a+ F(Kt,Nt).

Given that a > 1, the returns to scale of F(Kt,Nt) depend on whether α+β < 1, α+β > 1, or α+β = 1. If α+β < 1,

F(aKt,aNt) = a+ F(Kt,Nt) < aF(Kt,Nt),

we have decreasing returns to scale.  In that case, a 10% increase in capital and labor inputs (a = 1.1) increases output in less than 10% (1.1+<1 < 1.1).  When α+β = 1, the production technology displays constant returns to scale (CRS): a 10% increase in capital and labor inputs (a = 1.1) increases output proportionally in 10% .

(b) Determine whether this production technology displays increasing or decreasing returns to labor.


Answer:  The marginal return of labor in production is given by ∂F(K,N)

∂F(K,N) = βK N  1 .

 

∂F(K,N) = βK    1    

which is decreasing on N  (as 0 < β < 1).  Therefore, while an extra worker con- tributes positively to production , the contribution of the additional worker is declining on the number of workers. Note that this assumes that capital K stays constant.

(c) Assume that population grows (n > 0). Also, for simplicity, assume that β = 1  α (CRS). Derive the transitional dynamics (TD) equation and the level of steady state capital per-capita

Answer:  The new equation can be derived from the capital accumulation equation

Kt+1 = sAKNt1   +(1  δ)Kt

Kt+1 Nt+1 = [sAKNt1   +(1  δ)]

kt+1(1+n) = [sAk +(1  δ)kt].

kt+1 =            [sAk +(1  δ)kt]       [TD].

To nd the steady state equilibrium (how do we know it exists?)  impose kt+1 = kt = k

 

k (1+n) = [sA(k ) +(1  δ)k ].

k [1+n  (1  δ)] = sA k

k =    1  

(d) Describe the behavior of the aggregate variables in the model (K,Y,C,I) when the economy is in the long-run equilibrium

Answer: In steady state, we know that

Kt+1       Kt

=

Nt+1        Nt

Kt+1       Nt+1

=

Kt           Nt

gK = n.


Aggregate capital K grows at the growth rate of population.  We can show the same applies for Y,C,I (using the same approach).

(e) Now, assume that the economy has not reached its long-run equilibrium yet. Use the model’s diagram (TD equation vs.  the 45 degree line) to describe how two economies (economy A and economy B) that only dier in terms of their initial capital per-capita (k > k) converge to their long-run equilibrium. Discuss the implications for conditional convergence.

Answer:  Economy A starts closer to its long-run equilibrium.  Therefore, it dis- plays a shorter transition (it converges to k in less time) and along the transition path economy displays lower growth than economy B. Economy B has a burst of growth in the rst years (when the marginal product of capital is high due to low capital) and then eventually converges to the same level of capital per-capita.

 


(f) Analyze the transition and the new long-run equilibrium of (y,k,c,i,w,r) when the economy experiences a permanent increase in the natality rate (n)

Answer:  We now that

k =    1   .

It is clear that k  decreases.   The higher growth rate of population implies that rms have more and more workers for production, increasing the short run and also the long run growth ofY. However, this larger pie has to be split up among more people.  In equilibrium,  today’s generations have a hard time  building up more capital for future generations.   This is,  the second eect  (more people to split up  the pie)  dominates the rst eect  (increased production due to higher labor) and k is lower.

 


The dynamics is smooth. No variable jumps contemporaneously. As k decreases, y  decreases.  This also implies that c  and i  decrease.  The long-run marginal product of labor decreases as there are less machines per-capita (complementaries in production), which means that the wage rate decreases in the new equilibrium. On the other hand, the rental rate of capital increases.  The lower k together with the diminishing marginal products of capital, imply that capital per-capita is now more productive in the long-run.