Tutorial 2: The basic Solow model

1. Suppose that we have a Solow model with one twist. The twist is that there is a             government. Each period, the government consumes a fraction of output, sG . Hence, the aggregate resource constraint is: Yt = Ct + It + Gt  .

where Gt = sGYt  . Define private output as = Yt − Gt . Suppose that investment is a       constant fraction, s, of private output (consumption is then 1 − s times private output). Otherwise the model is the same as in the text.

a) Re-derive the central equation of the Solow model under this setup (the TD equation).

Start with the capital accumulation equation:

Kt+1 =s +(1−δ)Kt

Divide both side by Nt

b) Suppose that the economy initially sits in a steady state. Suppose that there is an increase in sG that is expected to last forever. Graphically analyze how this will affect the steady state value of the capital stock per worker. Plot out a graph showing how the capital stock per        worker will be affected in a dynamic sense.

The capital accumulation line shifts down and the economy converges to a lower steady-       state stock of capital per worker. In terms of dynamics, when sG increases capital per worker starts to decrease (but does not jump) in the period after the shock and continues to              decrease until converging to the lower steady state.

2. Suppose that we have a standard Solow model with a Cobb- Douglas production function. The central equation (TD) of the model is as follows:

+1  = + (1 − )

a)   Solve for steady state consumption per worker.

Set +1= = ∗ :

∗  = ∗ + (1 − )∗

1

So: ∗  = ()1−

∗  = (1 − )∗  = (1 − )∗ = (1 − ) ( )

b)  The Golden rule of optimal savings rate: Use calculus to derive an expression for the s which maximizes steady state consumption per worker.

Plug steady-state capital into the consumption equation:

Take the derivative with respect to s and set the expression equal to 0.

So s∗ = α. So the value of s that maximizes long-run consumption per worker equals the elasiticity of output with respect to capital.

3. Suppose that we have a standard Solow model with a Cobb- Douglas production function. The central equation of the model is as follows:

+1  = + (1 − )

a)   Suppose that A is constant at 1. Solve for an expression for the steady state capital per worker, steady state output per worker, and steady state consumption per

worker.

Answer:

b)  Suppose that α = 1/3 and δ = 0.1. Create an Excel sheet with a grid of values of s        ranging from 0.01 to 0.5, with a gap of 0.01 between entries (i.e. you should have a  column of values 0.01, 0.02, 0.03, and so on). For each value of s, numerically solve   for the steady state values of capital, output, and consumption per worker. Produce a graph plotting these values against the different values of s. Comment on how the

steady state values of capital, output, and consumption per worker vary with s.

Answer: Output and capital rise monotonically with s. c rises and then falls.