A:

With the provided information there are multiple equivalent pathways to determine the energy .

 =     ∰  ∙  =    2  =    

No matter how you arrange your final equation, finding the electric field/Charge is a first easily done using Gauss with a spherical surface inside the capacitor

∯  ∗  ∙ ⃗ = ∯ 

The end result of this is

42  = 42  =   = 1 ∗ 10−11      

 =              =                         

Using the  =  1 ∰  ∙  version, this is a spherical volume so dv = 2

 =     ∫   ∫     ∫   20                                            2

step, which is

After simplifying and integrating the trivial phi and theta integrals

 =               ∫         =              (       (      −     ))

Subbing in the values of Q, a and b we find the energy in the capacitor to be   =  5.5 ∗ 10−10 

Using the W =    version, we need to find the potential

Δ =  − ∫    =            ∫             = 110. 1

Subbing in the values of Q and V, we find again that   =  5.5 ∗ 10−10 

B: 

Finding the capacitance of the capacitor is most easily done using C = Q/V, especially if you had already

found V in the previous question

The expression for Δ using the work done in the previous question is  ( ( − ))

This gives us  =  16022  = 9 ∗ 10−14

The other way you can calculate the capacitance of a capacitor is with the equation  =

For a spherical capacitor this can be estimated to  =

Unfortunately, in this case the  varies by r making this equivalent to many capacitors in series, making this calculation much trickier and not recommended.

A:

This question requires the use of the Laplace equation ∇ = 0 to find the electric potential. As this is a sphere, we use the spherical laplace, and only the  vector changes, giving

(2         ) = 0

To isolate V we need to integrate twice

After the first

(2 ) = 1

After the second

 =  −      + 2

Which is the solution given in the question

We can now begin to use out boundary conditions

At r = a, V =  At r = b V = 0

Using V = 0, we can find that 2  = 

Using ,  =  0 we then have 0  =  +  so 1  =  

So finally  =     0       (1 − 1) which can be rearranged to give  =

B:

 =  −∇

0   (1 − )

This is a spherical geometry, and only  matters, so the derivative in respect to r is

 =                      

C:

With the electric field, we can use Gauss to find the contained charge, and then the surface charge density

∯  ∗  ∙ ⃗ = ∯ 

The integrations just give the area of a sphere of radius a, so

42  = 2

This gives the boundary condition of an electric field near a conductor

 = 

 =                   

The total charge is the charge density with the area of the inner sphere

04

( − )

D:

We have the expression for Q, the ∆ = The capacitance is simply

0 and the capacitance can be found with C = Q/V

4      

( − )