Assignment Overview

This assignment contains three questions from the topic of Applications of Differentiation.  You are re- quired to answer each question in the assignment. You will be marked on the correctness of your responses, your working and the quality of your mathematical communication (as described in the Mathematics 1 As- signment Guide for Students available on the TCOLE page).

Assignment Instructions

Format: Your assignment must be submitted as a single portable document format (.pdf) file of no more than 10 pages in length and 10MB in size. Pictures, graphs, etc. must be included in the same file as your assignment responses.  Your responses may be typed or handwritten in either pen or pencil.  Check that your submission displays properly on GradeScope; ensuring that your submission is correct and legible is your responsibility.

Submission: Include this cover page in your submission (it does not count towards the page limit).  You must submit your assignment via GradeScope. Please write your name and student number on each page of your submission. You must only submit responses to the assignment version you have been allocated on TCOLE. Submitting the wrong version will incur a marks penalty of 10%.

Late Submission: Late submissions will receive a marks penalty of 10% per day past the due date. Assign- ments will not be accepted more than four days past the due date.

Academic integrity:  This assignment must be completed in accordance with the TCFS Academic Integrity Policy.

In this assignment we will be using Excel and Desmos to investigate linear and quadratic approximating functions. For a given function f, an approximating function is a function g which satisfies f (x) ~ g(x) in an appropriate region. Usually, the function g is chosen to be easier to calculate than f . The simplest, and most widely used, approximating functions are linear approximations, which are calculated in exactly the same way as a tangent line:

The linear approximation of a function f when x = a is

L(x) = f (a) + f/ (a)(x - a).

One way to improve on this approximation is to use a quadratic approximation

Q(x) = f (a) + f/ (a)(x - a) +  (x - a)2

In both the these cases, the approximating function remains close to f as long the value of x does not stray too far from a.

1. Let f be defined as

6

f (x) = x sin(x) + 10      a← .

←=1

Where a← is the ith digit of your student number.

(a) Find the linear approximation, L(x), of f (x) at x = π . Show full working.

(b) Find the quadratic approximation, Q(x), of f (x) at x = π . Show full working.

[3 + 3 = 6 marks]

2.    (a) Using the functions f (x), L(x) and Q(x) from Question 1, create an Excel spreadsheet and name it Values. Fill in the headings below and enter your name, student ID and question number.

Then using Excel formulas fill in the columns as specified below. Answers should be displayed correct to 7 decimal places.

Column A: 21 evenly-spaced x-values from the interval [2.6, 3.6]

Column B: the values of f (x) at those 21 x-values

Column C: the values of L(x) at those 21 x-values

Column D: the values of Q(x) at those 21 x-values

Column E: the error between f (x) and L(x) at those 21 x-values

Column F: the error between f (x) and Q(x) at those 21 x-values

(b) Copy and paste the cells from the Values sheet into a new spreadsheet and name it Formulas.

Convert this sheet so that it displays as formulas (ensuring that the columns are wide enough to display the formulas fully). Submit screenshots of both the Values and Formulas spreadsheets as part of your assignment. Please ensure that each sheet fits onto a single page.

(c) By referring to your sheet of Values created in response to Question 2(a), briefly describe (in one or two sentences) which x-values seem to correspond to the smallest error when L(x) is used to approximate f (x).

(d) By referring to your sheet of Values created in response to Question 2(a), briefly comment (in one or two sentences) on whether L or Q has less associated error when approximating f on the interval [2.6, 3.6].

[4 + 1 + 2 + 2 = 9 marks]

3. Edgar the engineer uses many complicated equations in his work.  Before doing lengthy and time consuming calculations he often uses a linear approximation to investigate the problem.  Edgar’s current project requires the error in making this approximation to be less than 1 to provide valid results. In this instance, Edgar is working with the function

h(x) = 100 + 3x sin ╱ x2 、.

Let P (x) be the linear approximation of h(x) at x = 3.

(a) Find P (x). Show full working.

(b) To check the accuracy of Edgar’s approximation, divide the interval [-0.2, 6.6] into halves to

obtain 3 x-values (including the end points).  Create an Excel spreadsheet called Values and enter your name, Student ID and question number, then repeat the process from question 2(a).

(c) Copy and paste the cells from the Values sheet into a new spreadsheet and name it Formulas. Convert this sheet so that it displays as formulas (as in question 2) ensuring that the columns are wide enough to display the formulas fully. Submit screenshots of both the Values and Formulas spreadsheets as part of your assignment. Please ensure that each sheet fits onto a single page.

(d) Now use the Desmos graphics calculator to display the graphs of y = h(x) and y = P (x). Include DESMOS labels showing the points (x, h(x)) for the 3 equally-spaced x-values considered in the spreadsheet in Question 3(b).  Submit a screenshot of your Desmos graph (including the formulas) as part of your assignment.