Problems:  (Many and challenging 9)

1.  Section 17.4, Pages 753 - 754  # 1 - 3,  6 - 8,  10 - 14,  16,  18 - 20,  22,  23,  24,  28,  29,  33, 34,  36.

2. A delivery company accepts only rectangular boxes who length plus ”girth” do not sum over 108 cm (The ”girth” of a rectangular box is defined as the perimeter of a cross-section of the box). Find the dimensions of an acceptable box of largest volume.

3. In this question let  f (x, y) = x2 _ y2 _ 2x + 4y + 6

(a) Use the critical point concepts and the second derivative test to find out that f has a critical point at (1, 2) but no relative extrema there.

(b) Prove algebraically (i.e. not using calculus) that f has no relative extrema at (1, 2).

4.   (a)  Show that the critical point analysis and second derivative test provide no information about extrema of the function  f (x, y) = x4 + y4

(b) Use algebra (and no calculus) to find the local extrema of f in part (a). Prove also that the local extrema you find in part (a) is actually absolute extrema.

5.   (a) Repeat part (a) in Problem 4 for the function  f (x, y) = x4 _ y4

(b) Use algebra (and no calculus) to show that f has no local extrema at the point (0, 0).

6. In this question let  f (x, y) = x2 _ e(g2 − 1)

(a) Find all of the critical points of the function f

(b) Find all of the critical points of the function g(x) = f (x, x)

(c) What is surprising in your result for (b) compared to that of (a)?

7. A rectangular box with no top is constructed from exactly 12m2  of material (i.e. there is no waste).

(a) With the length, width, and height represented by positive numbers x, y, and z respec- tively, show that the volume, V , of the box subject to the material constraint above is

xy(12 _ xy)

2x + 2y    .

(b) Verify that if Vα (x, y) = Vg (x, y) = 0 then x = y .