Problem 1 (25 Marks)

A two-legged core is shown in Figure 1- 1. The winding on the left leg of the core (N1) has 600 turns, and the winding on the right (N2) has 200 turns. The coils are wounded in the directions shown in the figure.

Part A (5 Marks)

If the dimensions are as shown, then what flux would be produced by currents  1  = 0.5   and  2  = 1.0 ? Assume   = 1200  and is a constant, and the free space permeability is  0  = 4 × 10−7 / .

Part B (10 Marks)

Now, consider that the core is made of a steel whose magnetization curve is shown in Figure 1-2. Repeat the above required calculation but this time do not assume a constant value of  .

(a) How much flux is produced in the core by the currents specified, i.e.  1  = 0.5   and  2  = 1.0 ? (3 Marks)

(b) What is the relative permeability () of this core under these conditions? (3 Marks)           (c) Was  the  assumption  of a  constant  relative  permeability  (above   = 1200 )  a  good approximation for these conditions? Is it a good assumption in general? (4 Marks)

Figure 1-1. The core ofProblem 1, Parts A and B.

Figure 1-2. The magnetization curve for the core material ofProblem 1.

Part C (10 Marks)

A two-legged magnetic core with an air gap is shown in Figure P 1-3. Th e depth ofthe core is 5 cm, the length of the air gap in the core is 0.05 cm, and the number of turns on the coil is 1000. The magnetization curve of the core material is shown in Figure 1-2. Assume a 5 percent increase in effective air-gap area to account for fringing.

(a) How much current is required to produce an air-gap flux density of 0.5 T? (3 Marks)          (b) What are the flux densities of the four sides of the core at that current? What is the total flux present in the air gap? (3 Marks)

(c) Assuming the core permeability is infinity, then do (a) again. Then, do you think it is a good approximation that core permeability being infinity, and, why? (4 Marks)

Figure 1-3. The core ofProblem 1, Part C.

Problem 2 (15 Marks)

Figure 2- 1 shows the core of a simple dc motor. The magnetization curve for the metal in this core is given by Figure 2-2 (a) and (b). Assume that the cross-sectional area of each air gap is 18 cm2 and that the width of each air gap is 0.05 c m. The effective diameter of the rotor core is 5 cm.

(a) We wish to build a machine with as great a flux densi ty as possible while avoiding excessive saturation in the core. What would be a reasonable maximum flux density for this core?           (b) What would be the total flux in the core at the flux density of part (a)?

(c) The maximum possible field current for this machine is 1 A. Select a reasonable numb er of turns of wire to provide the desired flux density while not exceeding the maximum available current.

Figure 2-1. The core ofProblem 2.

Figure 2-2. (a) A detailed magnetization curve for a typical piece of steel. (b) A plot ofrelative permeability    as a function of magnetizing intensity H, for a typical piece of steel.

Problem 3 (20 Marks)

Figure 3- 1 shows a simple single-phase ac power system with three loads. The voltage source is  ̇ = 240∠0°  , and the impedances ofthese three loads are:

̇1  = 10∠30° Ω,  ̇2  = 10∠45° Ω,  ̇3  = 10∠ − 90° Ω

Answer the following questions about this power system.

(a) Assume that the switch shown in the figure is initially open, and calculate the current  ̇, the power factor, and the real, reactive, and apparent power being supplied by the source. (4 Marks) (b) How much real, reactive, and apparent power is being consumed by each load with the switch open? (4 Marks)

(c) Assume that the switch shown in the figure is now closed, and calculate the current  ̇, the power factor, and the real, reactive, and apparent power being supplied by the source. (4 Marks) (d) How much real, reactive, and apparent power is being consumed by each load with the switch closed? (4 Marks)

(e) What happened to the current flowing from the source when the switch closed? Why? (4 Marks)

Figure 3-1. The circuit ofProblem 3.

Note: In your solution, please draw relevant phasor diagrams when necessary.

Problem 4 (20 Marks)

The magnetic circuit of Figure 4- 1 consists of a core and a moveable plunger of width   , each of permeability   . The core has cross-sectional area    and mean length   . The overlap area ofthe two air gaps    is a function ofthe plunger position x and can be assumed to vary as:

  =  (1 −     )

You may neglect any fringing fields at the air gap and use approximations consistent with magnetic-circuit analysis.

(a) Assuming that   → ∞, derive an expression for the magnetic flux density in the air gap   as a function of the winding current I and as the plunger position is varied (0 < x < 0.8X0). What is the corresponding flux density in the core? (10 Marks)

(b) Repeat part (a) for a finite permeability   . (10 Marks)

Figure 4-1. Magnetic circuit for Problem 4.