Compute ABT .

2. [2 points] Let z = 3i _ 2 and w = 1 _ 2i. Write the complex number a and b are real numbers.

|z _ 2| 

in the form a + bi where

3.  [2 points] Let A, B, and C be 3 x 3 matrices such that det A = _1, det B = , and det(C) = 4.

Calculate det(2A − 1 CT BAB − 1 A3 ).

8. [2 points] For each of the following subsets of 皿3 , write ‘Y’ if the set is a subspace of 皿3  and write ‘N’ if it is not. You will receive 0.5 points for each correct answer, lose 0.25 points for each incorrect answer, and receive zero points for an answer left blank. You cannot receive a negative score on this question.

 '(┌)'(┐) │  '(┌)'(┐) =  '(┌)    __67(4)'(┐) ┌ ┐t(s)  for some s, t e 皿 

Span  '(┌)1_0131_2'(┐)

 '(┌)'(┐) │  '(┌)   11_1    0_21'(┐) '(┌)'(┐) =  '(┌)'(┐)

 '(┌)s(s) t(t)'(┐)

│               |

│  s, t e 皿 |

9. [2 points] Suppose that A is a square matrix and the characteristic equation of A is λ3 _ 3λ2 + 4 = 0.

For each of the following statements, write ‘T’ if the statement is true, and write ‘F’ if it is false. You will receive 0.5 points for each correct answer, lose 0.25 points for each incorrect answer, and receive zero points for an answer left blank. You cannot receive a negative score on this question.

λ = 1 is an eigenvalue of A.

det(A)  0.

Nul(A + I)  {0}.  (Here as usual “I” denotes the identity matrix.)

The equation Ax = 2x has a solution other than x = 0.

10. [2.5 points] For each statement below, write ‘T’ if the statement is true, and write ‘F’ if the statement is false.  You will receive 0.5 points for each correct answer, lose 0.25 points for each incorrect answer, and receive zero points for an answer left blank. You cannot receive a negative score on this question.

A matrix can have more than one echelon form.

The determinant of a square matrix is always equal to the determinant of its reduced echelon form.  If v is a nonzero vector in 皿n , then {v} is a linearly independent set.

A homogeneous linear system always has infinitely many solutions.

Every 5 vectors in 皿6  are always linearly independent.

12. [2 points] Let A and B be n x n invertible matrices. Solve the matrix equation (XT A + BT )T  = AT A for the matrix X .

Part B: Long Answer Questions

For Questions 13–20, you must show your work and justify your answers to receive full marks. Partial marks may be awarded for making sufficient progress towards a solution.

13. [5 points] Is the following linear system consistent or inconsistent? If it is consistent, then write down the general solution in vector parametric form .

│     x1 + x3      =    3x2 + x4 + x5

|      x3 + x5      =    2x4 + 1

|  3x2 + 3x4      =    x1 + 2x3  _ 1

(b)  [4 points] For each of the eigenvalues of B found in part (a), find a basis of the corresponding

eigenspace.  (There is additional space for answering this part on the next page.)

(Extra space for part (b).)

(c)  [2 points] Find an invertible matrix P and a diagonal matrix D such that B = PDP − 1 .  You do not need to calculate P − 1 .

16. Latin dance shoes are hard to find in Hungary.  There are only two brands available:  Esbrezzo  and Litheslide, each of which has an equal share of the market.  After three months of marketing competition, 40% of Esbrezzo’s regular customers switch to Litheslide, while 30% of the Litheslide customers switch to Esbrezzo.

(a)  [1 point] Write down the migration matrix M and the initial state vector -x0  for this problem.

(b)  [1 point] Write down the market share of each of the companies after three months.

(c)  [4 points] If the same marketing campaign continues for several more months, in the long run what is the predicted market share of each company?

(b)  [1 point] Using the result of part (a), find a row vector x = ┌x1     x2     x3 ┐ such that xA = ┌ 1    1    1┐ .

19. [5 points] Consider the vectors

┌ ┐0(1)                ┌ ┐1(0)

v1  =  '(')0 !(!) ,     v2  =  '(')0 !(!) ,     v3  =

'2'                '0'

Are the vectors v1 , v2 , v3 , and v4  linearly independent? If

┌'0(1)┐!                 ┌'5_1┐!

''1(1)!' ,    v4  =  '' 8(2) !' .

not, find a linear dependence relation.