Assignment questions

1.  (10 marks) Although in L1, we discussed the perfect replication technique in a one-period binomial model, it is more realistic to consider a multi-period binomial model as we do in this question.

Our model consists of a risky asset S and a bond B. Let St, where t = 0, 1, 2,...,T, denote the time-t price of a tradeable (non-dividend-paying) asset. Let S0 = 100 and let each random increment St+1 − St take value +1 with physical probability 40%, and value -1 with physical probability 60%, independently of all other increments.  The bond has a constant price 1 at all times (i.e. r = 0%).

We assume that there exists a call option on S, with strike K = 105 and expiry at time T = 10 (years).

(a.)  (5 marks) A student came up with the following  argument to prove that the no- arbitrage time-0 value of the call is zero.

Consider the trading strategy ⇥t(rep) , t = 0, 1, 2,...,T, specified as follows.

⇥t(rep) = 

This trading strategy replicates the call payo↵, because either ST  ≥ K, in which case the call payo↵ matches the time-T portfolio value ST − K, or else ST  < K , in which case the call payo↵ matches the time-T portfolio value 0.  The time-0 value of the replicating strategy ⇥t(rep)  is zero, because S0  < K.  So if the time-0 call price is not zero, then arbitrage exists. Specifically, if the time-0 call price is strictly positive, then shorting the call and going long the replicating strategy is an arbitrage; in other words,

⇥t = ⇥t(rep) − ⇥t(call)

is an arbitrage, where we let ⇥t(call) be the portfolio consisting of 1 call at all times. (And, likewise, if the time-0 price of the call is strictly negative, then −⇥t(call)  is

an arbitrage.) Therefore the no-arbitrage time-0 call price must be zero. Identify and explain the specific flaw in this “proof”.

(b.)  (5 marks) Find the true time-0 value of the call.

Do not induct backwards step-by-step in a tree, and do not use a computer (unless you want to check your answer).

Although your answer should be explicit, you may leave it un-simplified. For example, you may leave binomial coefficients (numbers of the form: n choose k) un-simplified.

2.  (10 marks)  Suppose that the value of a certain stock at time T is a random variable with distribution P.  Note we are not assuming a binary model.  An option written on this stock has payo↵ CT  at time T.  Consider a portfolio consisting of ↵ units of the underlying and β units of bond, held until time T.  Let V0  be the portfolio’s value at time-0.  Assume that interest rate is zero.

(a.)  (6 marks)  Show that the extra cash required by the holder of this portfolio to replicate the claim CT  is

= CT − V0 − ↵ (ST − S0) .

Find expressions for the values of V0  and ↵ (in terms of E [ST] , E[CT], var[ST] and cov (ST,CT)) that minimise

E ⇥  2⇤ .

Verify that for these values, we have E[  ] = 0.

(b.)  (4 marks) Prove that for the one-period binomial model in L1, any CT depends linearly

on ST − S0. Deduce that in this case, we can find V0  and ↵ such that     = 0.