Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Math 111                     Test 4

There are two questions each with several parts on 8 pages.  Each question is worth 18         marks for a total of 36 marks.  If at all possible put your answer in the space provided. You   will be marked for the accuracy of your answers and the neatness, organization and quality of your work. For these reasons (formatting plus neatness) it is important that you do a bit  of a first draft before you produce the final copy.

Your work is to be submitted to Crowdmark. Questions 1 and 2 are submitted separately.  Submit this cover page with Q1.

There is a late penalty—do not leave things till the last minute.

 

There will often be many ways to run a check on your work. Do not forget to do that!  It might save you many marks.

Finally: for each part of each question display your final answer clearly and put it in a box.

Marks will be deducted ifthe final answer is not in a box.


Q1. In the game at the right the counter starts on X and in each time-step it moves according to the                        probabilities found on the arrows. The node Z is              absorbing––once it lands on Z it stays there.

(a) [3 marks] Construct and solve a set of recursive        equations that will give you the average number of        moves in the game until the counter arrives on Z.  [Just to be clear the journey:

X-Y-X-Y-X-Z

has 5 moves.]  Let

 = the average number of moves starting on node X

  = the average number of moves starting on node Y

 

1/3

 

Z


(b) [3 marks] Use a backward system of recursive equations to find the average number of visits to Y in a single play of the game.

Let

α = the average numberfuture visits to X (starting on X)

β = the average number of visits to Y (starting on X)


Q1(c) [3 marks] List all the possible ways in which a counter starting on X can make exactly 3 visits to Y before the game ends. Beside each of these, record the probability ofthat             journey, and add these up to get the overall probability 3 of making exactly 3 visits to Y        before the game ends.

 

1/3

 

Z

 

(d) [3 marks] Let  be the probability of making exactly n visits to Y before the game ends.  In part (b) you found 3 . Use this same kind of reasoning (listing all the possibilities) to find a formula for  for any n.


Q1(e) [3 marks] Calculate the sum of all the ’s.

 

(f) [3 marks] Use the formula for  found in (d) to

calculate the average number of visits to Y in a single play ofthe game.

[Note: For this problem you will need the sum ofthe arithmetic-geometric series]:

 

 + 22  + 33  + 44  + ⋯ =                   

 

1/3

 

 

 

Z


Q2(a) [5 marks] Construct a 3×3 matrix for the game of Q1. Find the eigenvalues and eigenvectors ofthe matrix.

 

1/3

 

 

 

Z


Q2(b) [5 marks] Use the eigenvalues and eigenvectors from part (a) to find the state vector ofthe game at time n. Recall that the game starts on node X.  Write separate equations for , and  .


 

1/3

 

 

 

Z


Q2(c) [4 marks] In part (b) you used the eigenvectors to find  formulae for each component ofthe state vector. But these      were likely written in a somewhat complicated form. A             reader would have to do a bit of work to calculate 5 or 6 .     What I want you to do here is simplify those equations so the reader can work them out at a glance. Start by filling in the      table below, not from the formulae of part (b), but simply        from the diagram, tracking the counter step by step.  There     are simple patterns that allow you to do this. Then use the       patterns found in the table to write down simple                         specifications for  ,  and  , e.g. so the reader can quickly write down 5 or 6 .


 

1/3

 

Z


 

n

 

 

 

 

 

 

0

1

0

0

1

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

4

 

 

 

5

 

 

 

6

 

 

 


 


Q2(d) [4 marks] Now use your solution to (c) to         calculate the average number ofvisits to node Y in a single play ofthe game.

[This is the third time you have calculated this—the three answers should all be the same.]

 

 

1/3

 

 

 

Z