This coursework counts for 34% of the unit. You may type your answers or scan hand- written copies, but marks will be deducted for poor readability and layout, illegible hand-writing and for lack of a logical structure to your answers. You must provide sufficient working so the marker can see how you got your answer and you must use sufficient text to explain your methodology. Marks again will be deducted if your answer is not justified in in this way.

This coursework must be your own work and you must obey the university rules on academic  malpractice.  Thus  you  cannot  confer  with  other  students  about  this coursework (i.e. no collusion) and, should you find a source, online or otherwise, that contributes towards your answer, then this must be referenced and paraphrased (i.e. no plagiarism). Finally you cannot make use of external help to do the coursework (i.e. no help from a friend, external tutor, tutoring website, etc.).

You are free to use your lectures notes, any text-book and any legal internet source to help you do this work, provided you avoid malpractice.

ANSWER ALL QUESTIONS

1)         In the isobaric-isothermal ensemble (NpT), the average enthalpy, <H>, is given by

∑ ,( + ) exp[−( + )]

where the partition function, Q, is given by

  = ∑ exp[−( + )]  ,

(a) Show that

(),  = −(⟨2⟩ − ⟨⟩2)

(7 marks)

(b) The heat capacity at constant pressure is given by

   ,

Show that in the isobaric-isothermal ensemble,

  =                         

(2 marks)

(c) From this result, show that Cpcan never be negative.

(2 marks)

Coursework continues

2) For this question, upload all excel or matlab programs used. No marks will be given if no such file is provided.

A modified Lennard-Jones potential takes the form

() = 4 [(  )     − (  )  ]

For all parts of this question, set   = 1.

a) Use the WCA split to obtain the repulsive potential, u0(r)and the attractive  potential w(r). On excel or matlab, plot on the same graph u(r), u0(r)and w(r) against r/ up to r/ = 5. Set  = 1 for these plots.

[3 marks]

b) Use numerical integration, e.g. the trapezium rule, to calculate the second virial coefficient, given by

B2      exp u(r)  14r2dr

Assume   1 and     1.0 . Calculate B2 to an accuracy of two decimal places.

[5 marks]

c) Use numerical integration, e.g. the trapezium rule, to obtain the Barker-              Henderson effective hard-sphere diameter, d, accurate to two decimal places. Again assume   1 and     1.0 .

[3 marks]

Question 2 continues