1. An investor has utility function U(w) = (aln(bw) + cw ) · (1 − e −d w ), where a,b,c and d are parameters given in your spreadsheet.  You have been asked to investigate this investor’s attitude to risk.  The required parameters for this quesiton can be found in your spreadsheet.

(i) In your spreadsheet, on the worksheet for Q1, create a graph of the utility function for w ∈ (0, 150]. Include the graph in your report.

(ii) If we define ∆10U(w) = U(w) − U(w − 10). Calculate ∆10U(w) for integer values

of w in the interval [15, 150].  In your report present a completed version of the table below.

(iii) Using only your results from (i) and (ii), what kind of attitude to risk (e.g. risk-

averse, risk-neutral or risk-seeking) do you believe this investor demonstrates for w ∈ (0, 150]? Briefly explain if your calculations are enough to prove this or if any other analysis would be useful?

(iv) In your report state which of the following investments with random wealth out-

comes is preferred by the investor? You should include a statement of the expected utility for each investment as part of your answer.

2. An investor currently has a diverse portfolio of investments and is considering allocating a proportion of their wealth to a collective investment fund which exactly replicates the FTSE All Share Index. You have been asked to help with some analysis.

In your spreadsheet in the Q2 worksheet you have values at different time points one day apart.  These represent the value of the FTSE All Share Index and the investor’s current portfolio. Use the data in the Q2 worksheet (NOT the data in the “Index Data” worksheet) to answer the following questions.

(i) If St  denotes value at time t, calculate the return Rt  =  for each value of t shown in column A (except t = 1) for the FTSE All Share and the investor’s portfolio. In your report, include a completed version of the table below.

(ii) Now compute the sample mean returns and sample standard deviation of return for

the FTSE All Share and the investor’s portfolio. State the values as percentages in your report.  (You should use all of the data in the Q2 worksheet, not just the values in your completed summary table from (i).)

(iii) Consider the minimum variance problem.

min σ2 = σω2 + σ(1 − ω)2 + 2ω(1 − ω)Cov(RF ,RI)

subject to:  µ = ωµF + (1 − ω)µI ,

where µF and µI are the sample mean returns on the FTSE All Share and investor’s portfolio respectively and σF  and σI  are the sample standard deviation of return for the FTSE All Share and investor’s portfolio respectively.

In your report, derive an expression for σ2  in terms of µ,µF ,µI ,σ and σ only.

(iv) Use your expression from (iii) to produce a chart plotting σ2 against µ for −5% ≤ µ ≤ 5% and include this chart in your report. State what value of σ2  corresponds to µ = 0.2% and what proportion of total wealth should be invested in the FTSE All Share to achieve this expected return efficiently.

(v) Suppose the investor has a target expected return of 0.2% per day.  The investor updates the analysis you have carried out every week by adding in the observed returns in that week.

Suppose that on the first data update µF increases by 10% and µI decreases by 15%. How does this change your answer to part (iv)? You may assume for simplicity that all other values (sample variances of return, sample covariances etc) are unchanged.

(vi) Investors incur trading costs whenever they alter their portfolio. A change of 5%

or more in the portfolio allocations would be considered to incur significant costs. Using your answer to part (v), explain how you would advise the investor to reduce costs.

3. In an elementary single period market model we can calculate the price of European call and put options.

(i) In your spreadsheet include a calculator where the user can input the following parameters and be given the option price:

- Starting asset price, S0 .

- The outcome prices S1(u) = S0 · u and S1(d) = S0 · d.

- The strike price, K1 .

- The type of European option; call or put.

In your report, include the price of call and put options for the values of these parameters given. You should calculate the risk-neutral probability measure.

(ii) In your report, explain briefly how to detect whether or not the elementary single

period market model is arbitrage free.

It is possible to extend the elementary single period model to a multiple period model (we will see this at the end of the module, but for this question you do not need to read ahead).

Assume that a risky asset’s price evolves according to a (recombining) binomial tree. The diagram below illustrates a recombining binomial tree for two periods.  The state space is Ω = {ω1,ω2,ω3} since at t = 2 there are three states. The risk-neutral proba-

1 −q   %

bilities of each step is shown so the risk- neutral probability of state ω1  is q2 .                For each price at each time we have an elementary single period market model (in the example shown, for a given price St  at time t = 0 or t = 1, the possible prices one

period later are St · u or st · d). Based on the parameters provided in your spreadsheet carry out the following calculations in your spreadsheet.

(iii) Calculate the price of a risky asset at each vertex of on a recombining binomial tree

where there are n time periods. In your report, you should quote the highest two and lowest two possible prices for the asset at time t = n.  Hint:  Think carefully about a convenient to set out this calculation in Excel!

(iv) Calculate the risk neutral probability of each possible price after n periods. In your

report, include a table with these probabilities and a mathematical explanation of how you calculated them.

(v) Finally, determine

EQ    ,

the discounted expected value of the payoff from a European call option with strike price K2 (provided in your spreadsheet). This is the price of a European call option under this model.

Before you submit your solutions remember to attach a completed Academic Integrity form. We recommend www.smallpdf.com for signing and merging pdf documents.