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MTH6142 Complex Networks

Assessed Coursework 4

The reproduction number R of an epidemic spreading process taking place on a random network with degree distribution P(k) is given by

R = λ                                                             (1)

where k indicates the degree of the nodes and the average h...i indicates the average over the degree distribution, P(k).

Therefore R is the product between the infectivity λ of the virus, due to its biological ﬁtness and the branching ratio of the network, depending on the degree distribution of the network and given by hk(k − 1)i/hki.

According to the value of R the epidemic can be in di↵erent regimes:

• If R > 1 the epidemics is in the supercritical regime:  the epidemics spreads on a ﬁnite fraction of the population, resulting in a pandemics.

• If R  <  1 the epidemics is in the  subcritical regime:  the epidemics a↵ects a inﬁnitesimal fraction of the population and can be considered suppressed.

• If R = 1 the epidemics is in the critical regime: this is the regime that separates the previous two regimes.

Consider an epidemics with infectivity λ = 1/4. Investigate how the network topology can determine the regime of the epidemics in the following cases.

(A) Consider a Poisson network with average degree c = 3 and a Poisson

network with average degree c = 5. Calculate R and establish in which regime the epidemic process is in these networks.  [1 MARK]

(B) Calculate R for a scale-free network with degree distribution P(k) = Ck −γ, minimum degree m, maximum degree K and power-law expo- nent γ = 2.5 using the continuous approximation for the degrees.  [2 MARKS]

(C) Take the scale-free network considered in point (B) calculate R and establish in which regime the epidemic process is if m = 2,K = 50.  [1 MARK]