1.

(a) Use the following code to generate a vector of length 5 with entries integer

numbers between 0 and 9:

sample( 0 : 9 ,   5 ,  replace  = T)

(i) Write an R program that returns TRUE if the elements of the vector are in increasing order.                                                           [3 marks]

(ii) Write an R program to compute the average of those entries that are

above 2. Note: return 0 if non of the entries is above 2.         [3 marks]

(b) Consider a vector of student grades with values 70, 80, 55, 67, 90, 92, 83, 74,

100, 87, 49, and a vector with the month of birth of the students with values ”Jan” , ”Nov” , ”Dec” , ”Feb” , ”Feb” , ”Nov” , ”Jun” , ”May” , ”Apr” , ”Jan” , ”Jul” .

(i) Create a data frame with the above data.                              [2 marks] (ii) Find the average grade for those students born in Febraury.   [3 marks]

(c) We know that for |x| < 1

log(1 − x) = − ! n  .

Use the series representation above, up to a finite number of terms N = 100,

to compute log(0.3).                                                                       [3 marks]

2.   Let Y be Gamma distributed with shape parameter 2 and scale parameter 1, that is, the density function of Y is given by

fY (y) =        y2 − 1e−y ,    y > 0 .

Now, consider

X = 1/Y .

(a) Write an R function to compute the distribution function of X .

(b) Simulate a sample of size 2500 from X .

(c) Approximate E[(1/Y2)] using your simulated sample in (b).

[4 marks]

[3 marks]

[3 marks]

3.   Let X be Lognormal distributed distributed with parameters µ = 2 and σ = 2. Recall that the density function of a lognormal distribution with param- eters µ ∈ R and σ > 0 is give by

f(x) = xσ2π exp " − # ,    x > 0 .

(a) Simulate a sample of size 1000 from X .                                          [2 marks]

(b) With your simulated sample in (a), plot the log-likelihood function for pa-

rameter values µ between -3 and -1, and σ between 1 and 3.          [3 marks]

(c) Using the maximum likelihood estimation method, fit the following distribu- tions to the simulated data set:

(i) Lognormal. (ii) Weibull.

(d) Which fitted distribution answer.

[3 marks]

[3 marks]

seems to describe the data better?  Justify your

[3 marks]