1.   a)  A rustic poker game for two players,  and  , begins with both players       staking £2 into the kitty. In this game there is a hat containing four cards, two  marked with the number ‘2’ and two marked with the number ‘4’. The game    starts with Player  selecting (at random) a card from the hat (both players are careful not to show their cards to their opponent). Player  then selects a card  from those remaining in the hat. Now Player  must decide to call either          “Raise £3” or “Stick”. However, in this poker game the players are only           allowed make a call of “Raise £3” if they can either

i) show, by turning it over, that they currently hold a number ‘2’ card, or

ii) in response to a previous Raise callfrom their opponent.

So in order to make a raise, Player  must first turn over his original card to      show the number ‘2’. Then he pays £3 into the kitty and selects one ofthe two  remaining cards from the hat. Alternatively Player  may call “Stick”, without having to reveal the card he holds, but then he is not allowed to select a second card. Now it is Player ’s turn. He too can call “Raise £3” or “Stick” as above. Again if he chooses to Raise then he pays £3 into the kitty and selects a second card from the hat.

At this point the game concludes, the players turn over all the cards they hold in their hands. The winner of the game is the player with the higher score. A     player’s score is given by the total numbers on their respective card/s, minus    the money they paid into the kitty to obtain those cards. The player with the      higher score wins all the money in the kitty. If the scores are equal, the kitty is shared.

Draw a game tree for this game, including the information sets, the relevant probabilities ofthe possible scenarios and the monetary payoffs the players   receive.

[11 marks]

b) Compute the total number of playing strategies for each player. Write out   all of Player ’s playing strategies in full. Do the same for any three of Player  ’s playing strategies.

[5 marks]

c) Suppose Player  adopts a strategy of calling “Raise £3” whenever, he has the opportunity to do so. Calculate the expected payoffs he can expect to        receive if he plays this strategy against all the possible playing strategies of    Player  .

[4 marks]

2.   a) In a 2 × 2 strategic game, the payoff bi-matrix for the two players A (row) and B (column) is given by

().

Using the swastika method, or otherwise, find the Nash equilibria ofthe game. [8 marks]

b) A more general version ofthis particular 2 × 2 strategic game, is defined by the following payoff bi-matrix

(),

where  and  ∈ ℝ . Establish the conditions on  and  that ensure the game contains a Nash equilibrium point over the mixed strategies.

[6 marks]

c) Assume that the game b) above does indeed contain a Nash equilibrium    point over the mixed strategies. Determine the values of  and  that ensure each player receives a payoff of zero when playing strategies  =

( , 1 − ) and  = ( , 1 − ) off against each other. What are the corresponding frequency values for  and ?

[6 marks]

3.   a) A player has prospects 1, 2, 3and 4with 1 preferred to 4 . Suppose that

2~ [ 7  1,   4]              3~ [ 1,   4].

What is the preference relation between 2 and 3?                              [1 mark]

The prospect s is such that

~ [1 2,   7 3] .

Find p such that

~[1,  (1 − )4],                                           [2 marks]

and q such that

2~[3,  (1 − )1].                                         [2 marks]

Is there an r such that  2~[1,  (1 − )3]?                                            [2 marks]

b)  Let () be a Gambler’s utility of regarding the prospect  of         winning/losing £x. Suppose his utility function is standardised by setting

(400) = 400 and (−200) = −1000 . The Gambler has staked £200 at the   card table to play Blackjack against the Dealer. Blackjack is played with a        standard 52 deck of cards and suits don’t matter. Cards numbered 2-9 count      their face values, all tens, jacks, queens and kings count ten, whilst players can choose to count an Ace as either one or eleven, whichever is best for their         score. The Gambler wants to score 21 (Blackjack) which wins him a prize of    £1000, or equal or better the Dealer’s score, which wins him a prize of £400    (also his stake money is returned in both cases). If he goes Bust with a score ≥ 22, or his score is less than the Dealer’s, then he loses his stake money.

The Dealer deals two cards face up to the Gambler, a ten and six, then a King to himself. Then he deals a second card to himself, but face down so neither     he, nor the Gambler can see it. Now he invites the Gambler to Stick or Raise.   Ifthe Gambler chooses to Stick, then the Dealer’s card is turned over and the   scores computed. Ifthe Gambler Raises then the Dealer deals him a third card  from the deck, all the cards are turned over and the scores computed. The         Gambler’s dilemma comes down to a choice of playing the following two         lotteries:

 ~[11000, 2400, (1 − 1  − 2)−200],

 ~[3400, (1 − 3)−200].

What is the probability 1 the Gambler wins Blackjack? What is the              probability 3 he beats or equals the Dealer’s score if he Sticks? What is the probability 2 he beats or equals the Dealer by Raising? Ifthe Gambler is     indifferent to Raising or Sticking, determine (assuming EUP) the value of