Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

STAT 3690 Lecture 14

2022

2-way MANOVA (J&W Sec.  6.7)

●  Model:  Xijk   = u + ri  + 8j  + yij  + Eijk  with Eijk     MVNp (0Σ), i  =  1, . . . , m, j  =  1, . . . , b, k = 1, . . . , n

_  ri :  the main effect of factor 1 at level i

_  8j :  the main effect of factor 2 at level j

_  yij : the interaction of factors 1 and 2 whose levels are i and j, respectively

_  Identifiability:      i ri  =     j 8j  =     i yij  =     j yij  = 0

 

●  Sum of squares and cross products matrix (SSP) _  Total corrected SSP

m      b       n

SSPcor  =                   (Xijk  - )(Xijk  - )T

i=1 j=1 k=1

*   = (mbn)_ 1       i,j,k Xijk

_  SSP for factor 1

 

 

*  i .  = (bn)_ 1       j,k Xijk

_  SSP for factor 2

b

SSPf2  =       mn( .j  - )( .j  - )T

j=1

*   .j  = (mn)_ 1       i,k Xijk

_  SSP for interaction

m      b

SSPint  =             n(ij  - i . -  .j  + )(ij  - i . -  .j  + )T

i=1 j=1

*  ij  = n_ 1        k Xijk

_  SSP for residual

m      b       n

SSPres  =                   (Xijk  - ij )(Xijk  - ij )T

i=1 j=1 k=1

_  SSPcor  = SSPf1 + SSPf2 + SSPint + SSPres


 

●  Testing interaction

_  Hypotheses H0  : y 11  = . . . = ymb  = 0 v.s.  H1  : otherwise

_  Wilk’s lambda test statistic

 

*  Under H0 , by Bartlett’s approximation

[{p + 1 - (m - 1)(b - 1)}/2 - mb(n - 1)] ln Λ s χ2 ((m - 1)(b - 1)) _  Rejection H0  at level α when

[{p + 1 - (m - 1)(b - 1)}/2 - mb(n - 1)] ln Λ 2 χ1(2) _α,(m _ 1)(b _ 1)

_ p-value

1 - Fχ2 ((m _ 1)(b _ 1)) ([{p + 1 - (m - 1)(b - 1)}/2 - mb(n - 1)] ln Λ)

 

●  Testing main effects

_  Testing factor 1 main effects

*  Hypotheses H0  : r 1  = . . . = rm  = 0 v.s.  H1  : otherwise

*  Wilk’s lambda test statistic

Λ = det(SSPres + SSPf1 )

'  Under H0 , by Bartlett’s approximation

[{p + 1 - (m - 1)}/2 - mb(n - 1)] ln Λ s χ2 (m - 1)


*  Rejection H0  at level α when

[{p + 1 - (m - 1)}/2 - mb(n - 1)] ln Λ 2 χ1(2) _α,m _ 1

* p-value

1 - Fχ2 (m _ 1) ([{p + 1 - (m - 1)}/2 - mb(n - 1)] ln Λ)

_  Testing factor 2 main effects

*  Hypotheses H0  : 8 1  = . . . = 8b  = 0 v.s.  H1  : otherwise

*  Wilk’s lambda test statistic

Λ = det(SSPres + SSPf2 )

'  Under H0 , by Bartlett’s approximation

[{p + 1 - (b - 1)}/2 - mb(n - 1)] ln Λ s χ2 (b - 1)

*  Rejection H0  at level α when

[{p + 1 - (b - 1)}/2 - mb(n - 1)] ln Λ 2 χ1(2) _α,b _ 1

* p-value

1 - Fχ2 (b _ 1) ([{p + 1 - (b - 1)}/2 - mb(n - 1)] ln Λ)

 

●  Exercise: factors in producing plastic film (continued)

_  One more factor ADDITIVE (amount of an additive, 2-level, low or high) in the production test

options(digits  =  4)

tear  <-  c (

6.5 ,  6.2 ,  5.8 ,  6.5 ,  6.5 ,  6.9 ,  7.2 ,  6.9 ,  6.1 ,  6.3 ,

6.7 ,  6.6 ,  7.2 ,  7.1 ,  6.8 ,  7.1 ,  7.0 ,  7.2 ,  7.5 ,  7.6

)

gloss  <-  c (

9.5 ,  9.9 ,  9.6 ,  9.6 ,  9.2 ,  9.1 ,  10.0 ,  9.9 ,  9.5 ,  9.4 ,

9.1 ,  9.3 ,  8.3 ,  8.4 ,  8.5 ,  9.2 ,  8.8 ,  9.7 ,  10.1 ,  9.2

)

opacity  <-  c (

4.4 ,  6.4 ,  3.0 ,  4.1 ,  0.8 ,  5.7 ,  2.0 ,  3.9 ,  1.9 ,  5.7 ,

2.8 ,  4.1 ,  3.8 ,  1.6 ,  3.4 ,  8.4 ,  5.2 ,  6.9 ,  2.7 ,  1.9

)

(X  <-  cbind(tear,  gloss,  opacity))

(rate  <-  factor(gl(2 ,10 ,length=nrow (X)),  labels=c ( "Low" ,  "High")))

(additive  <-  factor(gl(2 ,5 ,length=nrow (X)),  labels=c ( "Low" ,  "High")))

summary (manova (X  ~  rate*additive),  test  =  'Wilks ')

summary (car ::Manova(lm(X  ~  rate*additive)),  test.statistic= 'Wilks ')