Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

STAT 3690 Lecture 13

2022

Testing for equality of population means (one-way multivariate analysis of vari- ance (1-way MANOVA), J&W Sec.  6.4)

●  Generalization of two-sample problem

-  Model:  m independent samples, where

*  x11 , . . . , x1nl     MVNp (μ1 , 5)

*  

*  xm1 , . . . , xmnm     MVNp (μm , 5)

-  Hypotheses H0  : μ 1  = . . . = μm  v.s.  H1  : otherwise

●  Alternatively

-  Model:  m independent samples, where

*  x11 , . . . , x1nl     MVNp (μ + 1 , 5)

*  

*  xm1 , . . . , xmnm     MVNp (μ + m , 5)

'  Identifiability:       i 丁i  = 0 otherwise there are infinitely many models that lead to the same

data-generating mechanism.

-  Hypotheses H0  : 丁 1  = . . . = 丁m  = 0 v.s.  H1  : otherwise

●  Alternatively

-  Model:  xij  = μ + 丁i + Eij  with Eij   MVNp (05)

*  Identifiability:       i 丁i  = 0

-  Hypotheses H0  : 丁 1  = . . . = 丁m  = 0 v.s.  H1  : otherwise


●  Sample means and sample covariances


-  Sample mean for the ith sample i  = n xij

-  Sample covariance for the ith sample si  = (ni  _ 1)_ 1

-  Grand mean  =     i ni i /     i ni  =     ij xij /     i ni

-  Sum of squares and cross products matrix (SSP)

* Within-group SSP

j (xij  _ i )(xij  _ i )T


ssPw  =      (ni _ 1)si  =      (xij  _ i )(xij  _ i )T

i                                     ij

*  Between-group SSP

ssPb  =       ni (i _ )(i _ )T

i

*  Total (corrected) SSP

 

ssPcor  =

 

(xij  _ )(xij  _ )T  = ssPw + ssPb


ij


●  Exercise: verify the decomposition ssPcor  = ssPw + ssPb .



●  MLE of (μ1 , . . . , μm , 5)

-  Under H0

*  i  =  for each i

*   = (    i ni )_ 1 ssPcor

-  Without H0

*  i  = i  = n xij

*   = (    i ni )_ 1 ssPw

●  Likelihood ratio

λ = , det(de)


 

i ni /2


 

 

Λ = λ2/      i ni   

-  Under H0 :  Λ ~ Wilk’s lambda distribution Λ(5,     i ni  _ m, m _ 1)

*  Since  ssPw  ~ Wp (5 ,      i ni  _ m) and  ssPb  ~ Wp (5, m _ 1)

*  When      i ni  _ m is large (i.e., (p + m)/2 _     i ni + 1  0), Bartlett’s approximation

{(p + m)/2 _      ni + 1} ln Λ s χ2 (p(m _ 1))

i

●  Rejection region at level α

←x11 , . . . , x1nl , x21 , . . . , xmnm   : {(p + m)/2 _      ni + 1} ln Λ 2 χ1(2) _α,p(m _ 1) 

i

= ,x11 , . . . , x1nl , x21 , . . . , xmnm   : Λ 5 exp ←  

● p-value

┌                                             ┐


●  Exercise: factors in producing plastic film

-  W. J. Krzanowski (1988) P」之》dμiμ О wai扌之U」之扌人 Aiμμ . A User’s Perspective.  Oxford UP, pp. 381.

-  Three response variables  (tear, gloss and opacity) describing measured characteristics of the resultant film

-  A total of 20 runs

-  One factor RATE (rate of extrusion, 2-level, low or high) in the production test

options(digits  =  4)

install.packages( !car !)

tear  <-  c (

6.5 ,  6.2 ,  5.8 ,  6.5 ,  6.5 ,  6.9 ,  7.2 ,  6.9 ,  6.1 ,  6.3 ,

6.7 ,  6.6 ,  7.2 ,  7.1 ,  6.8 ,  7.1 ,  7.0 ,  7.2 ,  7.5 ,  7.6

)

gloss  <-  c (

9.5 ,  9.9 ,  9.6 ,  9.6 ,  9.2 ,  9.1 ,  10.0 ,  9.9 ,  9.5 ,  9.4 ,

9.1 ,  9.3 ,  8.3 ,  8.4 ,  8.5 ,  9.2 ,  8.8 ,  9.7 ,  10.1 ,  9.2

)

opacity  <-  c (

4.4 ,  6.4 ,  3.0 ,  4.1 ,  0.8 ,  5.7 ,  2.0 ,  3.9 ,  1.9 ,  5.7 ,

2.8 ,  4.1 ,  3.8 ,  1.6 ,  3.4 ,  8.4 ,  5.2 ,  6.9 ,  2.7 ,  1.9

)

(X  <-  cbind(tear,  gloss,  opacity))

(rate  <-  factor(gl(2 , 10 ,length=nrow (X)),  labels=c ( "Low" ,  "High")))

# Bartlett 's  approximation  to  Wilks  lambda  distribution

X_low  <-  X[rate  ==   !Low!,]

X_high  <-  X[rate  ==  !High!,]

n  <-  nrow (X);  p  <-  ncol (X); m  <-  2

SSPcor  =  (n-1)*cov (X)

SSPw  <-  (nrow (X_low)  -  1)*cov (X_low)  +  (nrow (X_high)  -  1)*cov (X_high)

(Lambda  <-  det (SSPw)/det(SSPcor))

(cri.point  =  exp (qchisq(0.95,  p*(m-1))/((p+m)/2-n+ 1)))

Lambda  <=  cri.point

(p.val  =  1-pchisq(((p+m)/2-n+ 1)*log(Lambda),  p* (m-1)))

# Rao 's  approximation  to  Wilks  lambda  distribution

summary (manova (X  ~  rate),  test  =   !Wilks !)

summary (car ::Manova(lm(X  ~  rate)),  test.statistic= !Wilks !)

●  Report: Testing hypotheses H0 : no RATE effect on film characteristics v.s. H1 : otherwise, we carried on the Wilk’s lambda test and obtained 0.4136 as the value of test statistic. The corresponding p-value (resp. rejection region) was 0.002227 (resp.  (_o, 0.6227]).  So, at the .05 level, there was statistical evidence against H0 , i.e., we rejected H0  and believed that there was an effect from RATE on film characteristics.