Testing on u (J&W Sec.  5.2 & 5.3)

● x1 , . . . , xn   MVNp (u, Σ) n > p

● Hypotheses: H0  : u = u0  v.s. H1  : u  u0

● Recall the univariate case (p = 1)

-  The model reduces to X1 , . . . , Xn   N (µ, σ2 )

-  Hypotheses reduces to H0  : µ = µ0  v.s.  H1  : µ  µ0

-  and s2  are sample mean and sample variance, respectively

- Known σ 2

*  Name of approach: Z-test (also LRT)

*  Test statistic: In( - µ0 )/σ ～ N (0, 1) under H0        '  OR n( - µ0 )2 /σ 2  ～ χ(1) under H0                               

*  Rejction region at level α :  R  =  {x1 , . . . , xn   :  In| - µ0 |/σ  2  Φ 1_(_1)α/2}  =  {x1 , . . . , xn   : n( - µ0 )2 /σ 2  2 χ1(2) _α,1}

' Φ 1_(_1)α/2: the (1 - α/2)-quantile of N (0, 1)

' χ1(2) _α,1: the (1 - α)-quantile of χ2 (1)

-  Unknown σ 2

*  Name of approach: t-test (also LRT)

*  Test statistic: In( - µ0 )/s ～ t(n - 1) under H0  '  OR n( - µ0 )2 /s2  ～ F (1, n - 1) under H0          

*  Rejction region at level α :  R  =  {x1 , . . . , xn   :  In| - µ0 |/s  2 t1 _α/2,n _ 1 } =  {x1 , . . . , xn   :

n( - µ0 )2 /s2  2 F1 _α,1,n _ 1 }

' t1 _α/2,n _ 1 : the (1 - α/2)-quantile of t(n - 1)

'  F1 _α,1,n _ 1 : the (1 - α)-quantile of F (1, n - 1)

●  Multivariate case (with known 五)

-  Name of approach:  LRT

-  Test statistic:  n( - u0 )T 五_ 1 ( - u0 ) ～ χ2 (p) under H0

-  Rejction region at level α : R = {z1 , . . . , zn  : n( - u0 )T 五_ 1 ( - u0 ) 2 χ1(2) _α,p }

- p-value: p(z1 , . . . , zn ) = 1 - Fχ2 (p){n( - u0 )T 五_ 1 ( - u0 )}

*  Fχ2 (p): the cdf of χ2 (p)

options(digits  =  4)

install.packages(c ("dslabs"))

library(dslabs)

data("gapminder")

head(gapminder)

dataset  =  as.matrix(gapminder[

!is.na (gapminder$infant_mortality),

c ("infant_mortality" ,  "life_expectancy" ,  "fertility")])

# Aoouka  ua  4mnu  sgek-

Sigma  <-  matrix(c (555 ,  - 170 ,  30 ,

-170 ,  65 ,  -10 ,

30 ,  -10 ,  2),  ncol  =  3)

(mu_hat  <-  colMeans (dataset))

#  7aot  ku  =  ku  o

mu_0  <-  c (25 ,  50 ,  3)

n  =  nrow (dataset)

p  =  ncol(dataset)

(test.stat  <-  drop(

n  *  t(mu_hat  -  mu_0)  %*%  solve(Sigma)  %*%  (mu_hat  -  mu_0)

))

test.stat  >=  qchisq(0.95 ,  df=p)

(p.val  =  1-pchisq(test.stat,  df=p))

●  Report: Testing hypotheses H0  : u = [25, 50, 3]T  v.s. H1  : u  [25, 50, 3]T , we carried on the LRT and obtained 450477 as the value of test statistic. The corresponding p-value (resp. rejection region) was 0 (resp.  [7.815, o)). So, at the .05 (significance) level, there was a strong statistical evidence implying the rejection of H0 , i.e., we believed that the mean vector is not [25, 50, 3]T .

●  Multivariate case (with unknown 五)

-  Name of approach:  LRT

-  Test statistic:  n( - u0 )T S_ 1 ( - u0 ) ～ T2 (p, n - 1) = F (p, n - p) under H0

-  Rejction region at level α :  R = {z1 , . . . , zn  :  ( - u0 )T S_ 1 ( - u0 ) 2 F1 _α,p,n _p }

- p-value: p(z1 , . . . , zn ) = 1 - FF (p,n _p){  ( - u0 )T S_ 1 ( - u0 )}

*  FF (p,n _p): the cdf of F (p, n - p)