Question 1

Consider the following one-dimensional dynamical system, where x = x(t) is a function of time and

r > 0 is a constant:

x˙ = rx -                                                                             (1)

(a). Identify all fixed points, , of the dynamical system in Eq. (1) (hint: their existence may de-

pend on the choice of r).

(b). Using linear stability analysis, determine the stability of each of the fixed points where possi-

ble. In any cases where the linear stability analysis is inconclusive, use a graphical analysis to determine the stability.

(c).  Draw a bifurcation diagram showing the value and nature of all fixed points in terms of the control parameter, r .

Question 2

Consider the following two-dimensional dynamical systems:

(i)

x˙ = 2x + eg

y˙ = x3 - x

(ii)

x˙ = -11 + 3x + 5y

y˙ = 3y - 3

(2)

where x = x(t), y = y(t) are time-dependent functions. For the systems in (i) and (iii) perform the following analysis:

(a). Find the fixed points of the system.

(b).  Perform a linearisation in the vicinity of each of the fixed points from (a), classify the nature

of the fixed points and determine their stability.

(c). In the vicinity of the fixed point(s), draw local phase portraits for the linearised systems you found in (b). Explain whether the nature of the fixed point(s) are different between the lin-  earised case and the original system in Eq. (2).

Question 3

Consider the following two-dimensional nonlinear dynamical system:

x˙ = x ╱′x2 + y2 - 5、+ 5y,

y˙ = y ╱′x2 + y2 - 5、- 5x,

where x = x(t), y = y(t) are time-dependent functions.

(3)

(a).  Calculate the fixed point(s) for the system, ( , y¯).

(b).  By considering a general dynamical system of the form x˙ = f1 (x, y) and y˙ = f2 (x, y), linearise

the system near the fixed point(s) in (a) to determine their linear stability. Using this result, sketch (by hand) trajectories of the solution in the phase plane (x, y) near (, y¯).

(c). Would the behaviour in your sketch in (b) be different for the full nonlinear case? Explain.

(d). Far from the origin (i.e., ′x2 + y2 》 1), show that Eq. (3) reduces to the following:

x˙ ≈ x ′x2 + y2

y˙ ≈ y ′x2 + y2 .

(4)