1.  Compute the indicated derivative of each of the following functions (you don’t have to simplify your answers).

(a)  (4 points) If f (θ) = tan2 (sin(θ)), find f ′ (θ).

(b)  (4 points) If g(x) = cos(3x), find the 50th derivative g(50) (x).  (Hint: Look for a pattern, don’t do all 50 derivatives one-by-one).

(c)  (4 points) If h(t) = (arctan t)(ln t) + arctan(ln t), find h′ (t).

(d)  (4 points) If m(u) = ╱ 、4 , find m′ (u)

2.  Find the derivative f ′ (x) for each of the following functions (you don’t have to simplify your answers). (a)  (4 points)  f (x) = ln(ln(ln(ln(x))))

(b)  (4 points)  f (x) =′sec(eα )

(c)  (4 points)  f (x) = (x2 + x - 3)α  (hint: logarithmic differentiation)

3.  Suppose T = f (t), where T is the temperature (』F) of a baked lasagna taken out of a hot oven, and t is the number of minutes since the lasagna has been out of the oven.

(a)  (2 points) What are the units for the derivative f ′ (t)?

(b)  (2 points) What are the units for the second derivative f′′ (t)?

(c)  (1 point) Would you expect the derivative f ′ (t) to be positive or negative? Please justify.

(d)  (1 point) Would you expect the second derivative f′′ (t) to be positive or negative?  Please justify. (Hint: if you were to graph f (t), what would its shape be?)

4.  Evaluate each of the following limits.

x2 - 3x + 2

α →2 x2 - 7x + 10

(b)  (4 points)   lim

(c)  (4 points)    lim   x2 eα

α → -～

(d)  (4 points)  lim

1

(e)  (4 points)   lim  e z

α →0+

5.  For each part of this problem:

·  Find all horizontal asymptotes of f (x), if any.

·  Find all vertical asymptotes of f (x), if any.

(a)  (10 points)  f (x) = ,

e2α            

(b)  (10 points)  f (x) =

6.  (10 points)  Show that there is at least one root of the equation 2-α  =  in the interval (1, 3).

7.  The half-life of cesium-137 is 30 years. Suppose we have a 100-mg sample

(a)  (8 points)  Find an expression for the mass remaining after t years.

(b)  (4 points)  How much of the sample remains after 100 years?  (You do not have to simplify to a single number.)

(c)  (4 points)  After how long will only 1 mg remain? (You do not have to simplify to a single number.)

8.  Our goal in this exercise is to approximate ,25.03.

(a)  (1 point)  For what value of a would ,a ● ,25.03? Evaluate ,a at this value.

(b)  (5 points)  Use linear approximation to approximate ,25.03.

(c)  (4 points)  Use a Taylor polynomial of order 3 to approximate ,25.03 (Note:  you may leave your answer as an expression).

9.  (10 points)  Find       through implicit differentiation. tan(x - y) =

10.  For f (x) = ln(x2 + 3),

(a)  (5 points)  Find all intervals of increase and decrease, and determine any local extrema.

(b)  (5 points)  Determine the intervals where f (x) is concave up and where it is concave down.  Also determine the inflection points, if any.

(c)  (5 points)  Sketch a graph of the function, using the previous parts of the problem.