1. Recall that the dihedral group Dn  is the group of symmetries of a regular n-gon. (a) [3 points] Prove that if n is even then Dn  has n + 1 elements of order 2.          Hint: You can start by investigating Dn  for a small value of n, say n = 2 or n = 4.

(b) [2 points] What is the answer to part (a) in case n is odd? You should justify your answer.

2. Recall that sn  denotes the group of permutations on {1．．．．．n}.

(a) [1 point] Does s17  have a subgroup of order 38? You should justify your answer.

Hint: You can use the fact that there are n! permutations in Sn .

(b) [2 points] Let n e N.  Prove that for every integer d < n, the group sn  has a subgroup with d elements.

Hint. Try to give an explicit example of such a subgroup.

3. The Fif≠eeη Pa之之1e was invented in late 19th century, and has survived until today.  The puzzle consists of a 4 x 4 grid, filled by 15 tiles numbered 1,2,. . . ,15.  The sixteenth square in the grid is left vacant to allow the tiles to move. A valid movement is to slide a numbered tile to the vacant square.

In this question, you are going to find an explanation for the following fact: with valid moves we are unable to switch 14 and 15 in the original (sorted) arrangement of the tiles. See Figure 1 below:

Your goal is to prove that it is impossible to go from the   left arrangement to the right arrangement using valid moves.

Figure 1.

Here is the proof strategy: w1e assign a permutation in the group s15  to any arrangement of

the tiles as follows: we follow the dotted line from a to B and write the numbers on the tiles in a sequence from left to right, ignoring the vacant square. This sequence will determine the second row in the array notation for a permutation σ e s15 .

For example, the permutation obtained from the arrangement

(a) [1 point] Suppose that we move a tile horizontally.  Does σ change?  You should justify your answer.