1. True or false (You do NOT need to justify your answer)

a)   The significance level of a test is equal to the probability that the null hypothesis is true.

b)   The probability that the null hypothesis is falsely rejected is equal to the power of the test.

c)   A type I error occurs when the test statistic falls in the rejection region of the test.

d)   The power of test is determined by the distribution of the test statistic under the null hypothesis.

e)   Let X1, …, Xn be a random sample from an arbitrary distribution. The central limit theorem indicates that for large n, the histogram of the sample is roughly bell-curved.

2. Suppose that n light bulbs are burning simultaneously to determine the lengths oftheir lives. We shall assume that the n bulbs burn independently and that the lifetime of each bulb has the exponential

distribution with parameter β . Let Xi denote the lifetime (in thousand hours) of bulb i, for i=1,…,n. You may refer to results in the following table when solving this question:

a)   Show that the maximum likelihood estimator of β is  ˆ =  1  , where X = (X1 + ... + Xn ) / n.

1

b)   Is      a consistent estimator of β? Explain the meaning of an estimator being consistent. X

c)   What does the central limit theorem say about the distribution of                         when n is large? 1/ 

d)   For n=30 and X =0.8 (thousand hours), find an approximate 95% confidence interval of the

mean lifetime (1/β). Interpret the confidence interval you obtain in context of the situation. (Note: the 0.975-quantile of a standard normal distribution is 1.96. You don’t have to calculate out the     final number (in terms of thousand hours) if you don’t have a calculator.)

3. Solve DeGroot Ch 9.5 ex. 4. Use the fact that the 0.95-quantile for t(7) distribution is 1.895.

6. Let X1, …, X5 be a random sample from N(0,1). For each of the following variables, find its distribution. Be sure to show your work.

(X1 + X2− X3  − X4 )2

a)    Y =

4

b)    Y = 5X2 , where X =    1            2

(X1 + X2 )2 / 2     

c)    Y =

(X + X) / 2     

d)    Y =

1. Answer:

a)   False. b) False. c) False. d) False. c) False.

2. Answer:

a)

L( | X) = 1f (Xi  | ) = 1[e−Xi  ] = n exp[ −Xi ].

It is easier to maximize the log-likelihood, which is

l( | X) = nlog( ) − Xi .

Take derivative and set it to 0,

d             Xi  = 0 .

ˆ     1

The mean ofthe exponential distribution           and we know that the sample mean is a consistent

estimator ofthe mean 1/ β . By the continuous mapping theorem, 1/ X is a consistent estimator of β . Consistency means convergence in probability.

c)   From the distribution table, the mean and variance of Exp(β) are 1/ β and 1/ β2, respectively. The central limit theorem indicates the approximate distribution of

n (X − 1/ )       n (X − 1/ ) 

1/ 2                              1/ 

sufficiently large. 

30(X − 1/ )                        X − 1/      1.96                   X              1             X

1/                 .                               1/          30           1+1.96 / 30        1 − 1.96 / 30

So an approximate 95% confidence interval is [0.589,1.246]. So we are 95% confident that the   mean lifetime is between 589 and 1246 hours. (You don’t have to calculate out the final number if you don’t have a calculator.)

3. Answer:

See the corresponding answer key in DeGroot’s solution manual on Canvas (p. 294). A screenshot ofthe solution is below:

b)   In a) we showed that Y1, …, Yn  iid Uniform(0,1), where the mean and variance ofthe distribution are 0.5 and 1/12, respectively.  By the central limit theorem,

1/12

Since T ()  is a function of the unknown parameter θ, it is not a statistic.

c)   We can use T(0) =  − 0.5] =  − 0.5] as a test statistic. Under the null            hypothesis, is approximately N(0,1). Since the alternative is two-sided, both small T(0) and large T(0) are against the null hypothesis. We should reject the null when T(0) is greater than Z1-α/2 or   less than Zα/2 . So the rejection region is

R = {X :|  − 0.5] | Z1− / 2} .

6. Answer:

a)                                       is a linear function of independent normal random variables, si it follows a 2

normal distribution. In addition, it follows the standard normal distribution, as

E[X1 + X2  − X3  − X4 ] = 0 and = Var[X1 + X2  − X3  − X4 ] = 1+1+1+1 = 1. Since

Y =                                       =                                       , it follows the chi-squared distribution

with one degree of freedom.

b)    5X is a linear function of independent normal random variables, so it follows a normal

distribution. Since

E[5X] = 5(0 + ... + 0) / 5 = 0, Var[5X] = 5(1+ ... +1) / 25 = 1, 5X ~ N(0,1).  But        Y = 5X2  = (5X)2 , indicating that Y follows the chi-squared distribution with one-degree of freedom.

c)    Y =                                  =                                 . I claim that it follows the F distribution with

the numerator d.f. =1 and the denominator d.f.=3. This is because

i.      The numerator follows the chi-squared distribution with one degree of freedom:

(X1 + X2 ) /  follows a normal distribution as it is a linear function of independent normal random variables. Easy to show that its mean and variance are 0 and 1,             respectively. As a result, the numerator follows the chi-squared distribution with one   degree of freedom.

ii.      The denominator equals a chi-squared (with 3 d.f.) distributed random variable then        divided by 3. Since X3, X4, and X5 are iid N(0,1), the sum ofthe squared follows the chi- squared with 3 d.f.