Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

STATS 723 - Stochastic methods in finance - 2022

Assignment 1

1.  Give an example of a sample space Ω. Find two different probability measures P and Q on Ω. Define a random variable X on Ω, and give both distributions of X: the distribution when P-probabilities are used (a.k.a. the distribution “under P”) and the distribution under Q.

2.  Let X0 , X1 , X2 , . . . be  a simple random walk.   That is,  X0   =  0  and Xk   =      i(k)=1 Yi   where Y1 , Y2 , . . .  are independent and take values ．1 with probability   each.  Only finitely many things can happen in the first four steps, so each of the following σ-fields partitions the sample space into finitely many parts.

i  σ(X1 )

ii  σ(X4 )

iii  σ(X1 , X4 )

iv  σ(X0 , . . . , X4 )

v  σ (max(X0 , . . . , X4 ))

For each σ-field, find

(a) What the parts are. Example. σ(X1 ) partitions the sample space into two parts: |X1  = 1| and |X1  = ← 1|. (b)  The conditional expectation of X4  given the information represented by the σ-field.

3.  Let Y  and Z be independent random variables, with Z having the N(0, 1) distribution and Y having the distribution with pdf f(y) = e −y  for y  > 0 (a.k.a.  the exponential distribution).  Use a double integral to calculate P (Y + 2Z > 0).

4.  Let X0 , X1 , X2 , . . . be a standard normal random walk.  That is, X0  = 0 and Xk  =     i(k)=1 Zi  where Z1 , Z2 , . . . are independent and distributed N(0, 1). Let (rn ) be the usual filtration: rn  = σ(X0 , . . . , Xn ).

(a)  Demonstrate that X1  and X2  are not independent by finding examples of non-independent events in r1 and σ(X2 ).

(b)  For each of the following random variables, determine, firstly, whether the random variable is measurable with respect to rn , and secondly, the conditional expectation of the random variable given the information represented by rn .

i.  Zn+1

ii. Xn

iii.  Xn − 1

iv. Xn+1

v. X1 + X2 + 一 一 一 + X2n

vi.  maxXi

vii.  Xn(3)Zn(2)+1

(c)  Show that the sequence (Yn ) given by Yn  = (Xn(2) ← 3n)Xn  is a martingale.

(d)  Hence, or otherwise, find an expression for E ┌Xn(3) │rm ┐ when m 士 n.