1.  Suppose that we observed the following 15 observations

120.96 134.00 189.49 245.55 339.11 353.46 355.98 366.83 445.93 479.78 486.28 537.99 558.12 729.46 748.85

We want to estimate the density at t = 450

(a)  Calculate the kernel density estimator of the density at 450 for a rectangular kernel with bandwidth

50 (i.e. the kernel is constant from 400 to 500 and 0 elsewhere)

(b)  Estimate the variance of this estimator.

(c) What is the difficulty we face in estimating the bias of this estimator?

(d) Why might we choose to take a bandwidth larger than 50?

2.  Ms Morgan takes a poll of her second grade class and asks each student how many children are in their family. The results were

Size of Family     1      2     3    4+  

Count                 24    16    6      5

(a)  Suppose that we assume that the data has a geometric distribution with

P(X = k} = pk − 1 (1 _ p),    for k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .

Find the maximum likelihood estimator of the probability p.

(b) We want to use a χ2  goodness of fit test to test our assumption that the data is from a geometric

distribution. Calculate the appropriate test statistic.

(c)  How many degrees of freedom should we use in calculating our P value?

3. We have 345 observations on the hourly log-return for a certain bond index, and we want to use a Kolmogorov–Smirnov test of the goodness of fit for a standard normal distribution.

(a)  The first step in performing this test is to transform our data set returns,

Un  <-  pnorm(returns, mean=0,  sd=1)

What is the purpose of this transformation?

(b)  Our software calculates the upper and lower statistics as

Dn(+)  = 0.0599       Dn(−)  = 0.1314

Find an appropriate approximation for the P value of this test.

(c)  How would you interpret the result?

4. In question 3, we used the specific null hypothesis of X(0, 1).  However, we might not really believe that the mean log return is 0, and so we decide to subtract  from all of the data first.  This centers the data so that it now has mean 0.

(a) Would you expect the KS test statistic to be larger or smaller using the data with the mean

removed? Why?

(b)  The P value from question 3 would no longer be appropriate so we decide to do a simulation

study to approximate the probability.  We produce 100,000 random replications of 345 standard normal random variables, and only 4,978 of those replications had a test statistic greater than or equal to our Dn . Give a 95% confidence interval for our approximate P value.

(c)  About how many replications would we need in order to calculate the P value to within +0.0001 of the true value?

5. We have 25 data observations, and we want to check if they are uniformly distributed between 0 and

(a)  Use a χ2  goodness of fit test with four intervals to test the null hypothesis that these are from a

uniform distribution. Please explain your conclusions clearly.

(b)  Alternatively, we could use the Kolmogorov–Smirnov goodness of fit test for the data and hypoth-

esis from part (a). Calculate the test statistic D for this test.

(c)  Find a P value and explain what our KS test concludes for this data.

(d) What is the advantage of the Kolmogorov–Smirnov test over the χ2  test in this problem?

6. We collected wind speeds on 20 days in November.

73.7      85.8      87.6    113.5    123.4

141.1    153.9    156.2    182.7    182.9

206.1    206.9    278.6    290.1    328.3

339.8    352.3    373.6    381.8    449.9

(a)  Assuming that these are independent observations, estimate the probability that speed is less

than 300.

(b)  Give a 95% confidence interval for your probability estimate.

(c)  Use the kernel

,． +  + K30 (t) = ．  _ 

．0

_30 < t < 0

0 < t < 30

elsewhere

to find an estimate of the density of the data at 300.

(d) If this kernel K30 (t) has a bandwidth of 30, then write down the kernel function K90 (t) that has a bandwidth of 90.

(e) What is the advantage of using the wider bandwidth kernel?

(f) In order to estimate the standard deviation of this kernel estimator, I decided to try to use a

bootstrap methodology.

>  sds  <-  rep(-999,8)

>  for(  j  in  1:8)  {

+

+

+

+

boot.wind  <- matrix(sample(wind.speed,size=20000,replace=TRUE),ncol=20) kern.bw  <-  (1/30  -  abs(boot.wind-300)/900)*(abs(boot.wind-300)<30)          hat.f  <-  rowMeans(kern.bw)

sds[j]  <-  sd(hat.f)

+        }

>  signif(sds,4)

[1]  0.001104  0.001158  0.001137  0.001154  0.001133  0.001200  0.001155  0.001171 > mean(sds)

[1]  0.001151571

>  sd(sds)

[1]  2.817011e-05

What is our bootstrap estimator of sd(fˆ)? Give an approximate margin of error for this estimator.

7.  The following data was collected on the lifetimes of rubber gaskets in marine applications.

10      12      37      55      59      63      68      77

109    111    126    158    162    163    188    197

I want to test whether this data is from an Exponential distribution with mean 100.  P0 (X < x} = 1 _ e −x/100 .

(a) If we are going to use a χ2  test, first we need to divide this data into 3 appropriate intervals.

Calculate the expected values from the null hypothesis for each of the intervals you have chosen.

(b)  Find the χ2 test statistic and compare it to the correct critical value from the table for an α = 0.05

level test. What do you conclude?

(c)  Use the results from the R code below to calculate the Kolmogorov–Smirnov test statistic D for this test.

(d)  Calculate the approximate P value from this KS test statistic.

>  data  <-  c(10,12,37,55,59,63,68,77,109,111,126,158,162,163,188,197) >  pexp(data,  rate=1/100)

[1]  0.095162582  0.113079563  0.309265669  0.42305019  0.445672715

[6]  0.467408199  0.493383008  0.536986932  0.663783506  0.670441039

[11]  0.716345974  0.794024902  0.802101301  0.804070426  0.847409894

[16]  0.860543144

8.  From the data in question 7, we want to estimate the density of this data.

(a)  Calculate a 95% confidence interval for p = P(X < 100}.

(b)  Use a kernel density estimator with a rectangular kernel which has a bandwidth h = 25 to estimate

the density at x = 100.

(c)  Estimate the variance of this density estimate.

(d) What advantage would there be to using a smaller bandwidth?

9.  The median from the data in question 7 is (77 + 109)/2 = 93.  We want to perform a test of the null hypothesis H0  : Xi  ~ Exponential(100). We decide to use the test statistic T = 93 and reject the null hypothesis for large values of T.

(a) Write R code which uses simulation to calculate an approximate P value for this test.  Run this

code for 1000 simulated samples.

(b)  Find a rough estimate for how long it would take to run this code on 109  samples. Clearly show

and explain your calculations.

(c) What conclusion would this hypothesis test reach for our data set?

10.  Using a data set of teacher salaries, we tabulate the salaries according to some convenient ranges

The average salary among the teachers was   =  $72, 922 with an estimated standard deviation of s = $19, 943.

(a)  Use a Chi-squared goodness of fit to test whether or not it is reasonable to consider this data

as coming from a normal distribution with some mean and standard deviation.  Please carefully show the steps you are taking and the final conclusion that you draw.

(b) What advantage does this test have over the Lilliefors test?

11.  A trial measured the relative efficacy of a treatment for a variety of doses.

Dose            0         3         3         4         5         6          6          7          8          10

Efficacy    2.56    0.78    4.79    2.44    1.01    1.05    -1.07    -1.37    -6.18    -12.03

We want to model the efficacy as the dependent variable in a nonparametric regression model. In par- ticular, we’ll use a Nadaraya–Watson Kernel Estimator with an Epanechnikov kernel with bandwidth 2,

K2 (t) =  ╱ 1 _ 、 ,         for _2 < t < 2.

(a)  Calculate the regression estimate this would give for when the dose is 2.

(b)  Calculate the bias in this regression estimate at the point where the Dose= 2 if the true mean

function is

E(Efficacy) = 3 + Dose _ Dose2

(c) If instead I used a bandwidth of 3, will the bias be larger or smaller? What is the benefit to using a larger bandwidth?

(d)  How would our estimate change if we wanted to fit a local linear model using the same kernel function, K2 (t)? Show me your calculations.