2.  (8 Pts.) Find the values of the constants a and b such that the function

f (t, x) = sin(x _ at) + cos(bx + t)

is solution of the wave equation ftt  = 4fxx .

3.  (6 Pts.) Consider the function z(t) = f (x(t), y(t)), where

f (x, y) = (2x + y2 )1/2 ,    x(t) = e3t ,    y(t) = e −3t .

Compute     z(t).

4.  (8 Pts.) The function z(x, y) is defined implicitly by the equation z2 xy = cos(2x + z). Compute the partial derivatives ∂z/∂x and ∂z/∂y as functions of x, y and z .

5.  (10 Pts.) Reparametrize the curve r(t) = (e2t cos(2t), 2, e2t sin(2t)), with respect to the arc length measured from the point where t = 0 in the direction of increasing t.

6.  (10 Pts.) Consider the function f (x, y) = 8x3  _ 6xy + y3 .

(a) Find the critical points of f .

(b) For each critical point determine whether it is a local maximum, local minimum,

or a saddle point.

7.  (10 Pts.) Find the maximum and minimum values of the function f (x, y) = x +2y2 2 _2x subject to the constraint x2 + y2  = 4.

8.   (a)  (10 Pts.)  Sketch the region of integration, D , whose area is given by the double integral

2       3 ′x/2

D dA =   0                     dy dx.

2

(b)  Compute the double integral given in (a).

(c)  Change the order of integration in the integral given in (a).  (You don’t need to compute the integral again.)

9.  (10 Pts.) Compute the integral

1

=

0

y       4 −y2

yz dx dz dy

0       0