Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MATH 20C Practice Problems

1.  Consider the vector-valued functions v(t) = (sin t, sin t, cos t〉and w(t) = (cos t, cos t, sin t〉. Let ∆芒  be the triangle spanned by v(t) and w(t).  For what values of t is the area of ∆ maximized?

2.  The Earth is flat.  In fact, it is given by the plane x + y + z = 0.  A robot launches from the origin in the direction v =(1, 2, 1〉and follows a straight line path. When the robot has traveled a distance of 2)6, what is its altitude?

3. Alice and Bob are racing along the same curve.   At time t,  Alice’s position is given by


speed of 2.  The race begins at time t = 0 and Alice and Bob both begin at the same point.

The finish line is at the point ╱ 1() , ζ1 ∶ . Who wins the race?

4.  Show that either the following exists or does not exist, and if the limit exists, compute its

A(t) =  ╱ 1 - t,)2t - t1 ∶ .  Meanwhile, Bob travels along the same curve but at a constant

value.

xy

′α﹐(≠ ′)﹐)(  x1 + y1 .

5.  Show that either the following limit exists or does not exist, and if the limit exists, compute

its value.

xy1    

′α﹐』(≠ ′( x1 + y§ .

6. What is the smallest distance between the graphs of the functions f(x) = x+1 and g(x) = x?

7. What is the smallest distance between the surface x + y + z1 = 2 and the origin?

8. Let R be a rectangular region contained in the first quadrant and let f(x, y) = x + y. Let P be a partition of R into a grid.  Let A be the Riemann sum with respect to P and choosing the lower left vertex of each sub-rectangle as a sample point.  Similarly, define B to be the Riemann sum using the upper left vertices as sample points, and C to be the Riemann sum using the upper right vertices as sample points. Show that A < B < C .

9. Let R be the region in the plane bounded by the graphs of f(x) = 1 + x, g(x) = 1 - x, and the x-axis. Let h(x, y) = xe』. Show that

h dA = 0.

a

10. Let R = [0, 1] x [0, 1] x {0} =(x, y, 0) e 政笠 : (x, y) e [0, 1] x [0, 1] ←. Find the volume of the region directly above R but below the plane x + y + z = 4.


1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

t = πn and t =  + πn for integers n. 4 ζ

   .

Alice.

0.

Does not exist.

 ζ1

4   .

2.

Riemann sums.

Use Fubini’s theorem or symmetry.

3.