Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MATH 475 - Spring 2022 – Homework 2

Questions

1. Let A e Rm×l  and B e Rm×n  be matrices. Consider the Frobenius norm minimization problem

min   |AC - B|F 9

CeRl ×n

Show that

 = AtB .

is a minimizer of this problem, where At  is the pseudoinverse of A.

2. If Ⅹ is a random variable, its αumulBnt∶礻↓n↓rBtin礻 |unαtion is CX(θ) = log (E (exp(θⅩ))) 9

(a) Let Ⅹ1. 9 9 9 . Ⅹn  be independent random variables and ≠. θ > 0. Using Markov’s inequal- ity, show that

P ╱ i1 Ⅹi  > ≠\ < e-θtE ╱exp ╱θ i1 Ⅹi \\ 9

(b) Using (a), show that

P ╱ i1 Ⅹi  > ≠\ < exp ╱θ(i)0(f) i1 CXi (θ) - θ≠ \ .

where CXi(θ) is the cumulant-generating function of Ⅹi .

3. (a) A -↓rnoulli random variable Ⅹ satisfies P(Ⅹ = 1) = P(Ⅹ = -1) = 1/2. For such a random variable show that

CX (θ) < θ2 /29

Hint: cosh(α) < ex2 /2 .

(b) Let Ⅹ1. 9 9 9 . Ⅹn  be independent Bernoulli random variables, and a = (α1. 9 9 9 . αn) e R, a  0. Using Question 2 and part (a), show that

P ╱ i1 αiⅩi  > ≠\ < exp ╱ - \ 9

for any ≠ > 0.

(c) Show that

P ╱ │i1 αiⅩi │ > ≠\ < 2 exp ╱ - \ 9