Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MATH 475 - Spring 2022 – Homework 0B

Questions

1. Let X be a random variable and a e 皿. Show Var(aX) = aVar(X).

2. Let X > 0 be a r.v. such that E(X) and E ╱ ∶ are finite. Show E ╱ ∶ >  .

3. Let X ~ N(0, 1). Show that

E exp(θX) = exp(θ /2),

for θ e 皿, and also that

E exp(aX + θX) =  exp ╱  2(1 θ- 2a) ,

for a < 1/2.

4. Let X , Y be discrete random variables on a probability space (Ω , r, 贮). (a) Explain why X and Y can be expressed as

X =       xI│ ,        Y =       yI│ ,

乂                                       乂

where x , y  e 皿 and {A乂} is a partition of Ω into disjoint sets A  e r. 

(b) Using (a), prove the Cauchy–Schwarz inequality for X and Y , i.e.

|E(XY)| < ←E(|X| )E(|Y | ).

5. Let X and Y be random variables. Show that the correlation coefficient ρ(X, Y) = 

satisfies

-1 < ρ(X, Y) < 1

whenever Cov(X, Y), Var(X), and Var(Y) exist, and Var(X), Var(Y)  0.